Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a representação da função por uma integral de Fourier. A função dada é:
Para isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Fourier e como aplicá-la a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no espaço do tempo (ou espaço físico) para o espaço das frequências. A fórmula da Transformada de Fourier é:
Onde:
é a transformada de Fourier da função .
é a frequência angular.
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Sabemos que para e para . Isso significa que podemos simplificar a integral de Fourier limitando-a a :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de de 0 a é , onde . No nosso caso, , e como a parte real de é 1 (que é positiva), podemos aplicar essa fórmula:
Resposta
A representação da função por uma integral de Fourier é: