Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar a função usando uma integral de Fourier. A função é definida assim:
Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender o que é a Transformada de Fourier e como aplicá-la para funções definidas por partes como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier contínua é:
Aqui, é a representação da função no domínio da frequência, e é a variável de frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Como é diferente de zero apenas quando , podemos limitar os limites da integral de -1 a 1:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a integral de uma exponencial:
Aplicando isso, onde :
Passo 6
Vamos simplificar as exponenciais:
Substituindo de volta na expressão de :
Passo 7
Para deixar a expressão mais limpa, podemos fatorar na primeira parte e na segunda:
Isso já nos dá a representação da função pela integral de Fourier.