Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
f(x) = { 0, x < 0; sen(x), 0 <= x < pi; 0, x > pi }

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente encontrar a representação da função usando uma integral de Fourier. A matéria aqui é Análise de Fourier, e pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformada de Fourier para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função é dada por:
No nosso caso, a função é zero para e , então a integral vai de 0 até .

Passo 3

Substituindo a função na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Podemos usar a identidade de Euler para expressar em termos de exponenciais:

Passo 4

Aplicando a identidade na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando as integrais:
Substituindo de volta na expressão do :

Passo 6

Simplificando os termos:

Passo 7

Podemos reescrever usando a identidade de Euler para simplificar ainda mais:
Aplicando isso, obtemos:

Resposta

A representação da função por uma integral de Fourier é:

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