Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente encontrar a representação da função usando uma integral de Fourier. A matéria aqui é Análise de Fourier, e pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformada de Fourier para funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função é dada por:
No nosso caso, a função é zero para e , então a integral vai de 0 até .
Passo 3
Substituindo a função na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Podemos usar a identidade de Euler para expressar em termos de exponenciais:
Passo 4
Aplicando a identidade na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Calculando as integrais:
Substituindo de volta na expressão do :
Passo 6
Simplificando os termos:
Passo 7
Podemos reescrever usando a identidade de Euler para simplificar ainda mais:
Aplicando isso, obtemos:
Resposta
A representação da função por uma integral de Fourier é: