Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida assim:
O que o exercício está pedindo é para representar essa função usando uma integral envolvendo funções seno ou cosseno. Isso faz parte do estudo de transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas para representar funções como integrais de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta e qual tipo de integral (seno ou cosseno) é mais adequada para essa representação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função é uma função ímpar, ou seja, ela satisfaz . Funções ímpares são naturalmente representadas por séries ou integrais de senos, já que os senos também são funções ímpares. Isso simplifica nosso trabalho porque podemos focar nas integrais de seno.

Passo 3

A transformada de Fourier para funções ímpares é dada pela Transformada de Seno de Fourier. A fórmula geral para representar uma função ímpar usando a transformada de seno é:
Onde é a transformada de seno de Fourier da função , que é dada por:

Passo 4

Vamos calcular para a nossa função :
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Calculando os limites:
E a segunda integral:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a representação da função como uma integral de senos:
Essa é a representação da função usando uma integral de seno adequada, de acordo com a Transformada de Seno de Fourier.

Resposta

A função pode ser representada pela seguinte integral de seno:

Exercícios relacionados

Seja . Calcule .
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
a) Determine a transformada de Fourier de .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.