Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.

Passo 1

Então, temos a função , onde e . Nosso objetivo aqui é encontrar representações dessa função usando integrais que envolvem o cosseno e o seno. Isso está relacionado com o estudo de transformadas integrais, onde expressamos funções em termos de integrais trigonométricas.

Passo 2

Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas. A ideia é reescrever como uma integral que inclui o cosseno e outra que inclui o seno. Isso nos ajudará a entender a função sob diferentes perspectivas matemáticas.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a representação envolvendo o cosseno. Sabemos que podemos expressar como uma integral de cosseno multiplicado por uma função adequada. A fórmula geral para isso é:
Aqui, está sendo integrado contra uma função que depende de e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a representação envolvendo o seno. De maneira similar, podemos reescrever como uma integral de seno multiplicado por outra função:
Neste caso, é integrado com um peso que também depende de e .

Resposta

As representações da função são:
e

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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a) Determine a transformada de Fourier de .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.