Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a representação da função por uma integral de Fourier. Isso significa que vamos expressar a função
usando a transformada de Fourier. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes, como a que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da transformada de Fourier é:
Aqui,
é a transformada de Fourier de
, e
representa a frequência angular.
Passo 3
Nossa função
é definida de forma diferente para
e
:
Isso significa que precisamos calcular a transformada de Fourier em duas partes separadas e depois somar os resultados.
Passo 4
Vamos calcular
dividindo a integral em duas partes:
Simplificando as expressões:
Passo 5
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 6
Somando as duas partes:
Para simplificar, encontramos um denominador comum:
Passo 7
Agora que temos a transformada de Fourier
, podemos expressar a função original
como uma integral de Fourier:
Resposta
A representação da função
por uma integral de Fourier é: