Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
f(x) = { e^(-x) se x > 0; e^(x) se x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a representação da função por uma integral de Fourier. Isso significa que vamos expressar a função usando a transformada de Fourier. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes, como a que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da transformada de Fourier é:
Aqui, é a transformada de Fourier de , e representa a frequência angular.

Passo 3

Nossa função é definida de forma diferente para e :
Isso significa que precisamos calcular a transformada de Fourier em duas partes separadas e depois somar os resultados.

Passo 4

Vamos calcular dividindo a integral em duas partes:
Simplificando as expressões:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 6

Somando as duas partes:
Para simplificar, encontramos um denominador comum:

Passo 7

Agora que temos a transformada de Fourier , podemos expressar a função original como uma integral de Fourier:

Resposta

A representação da função por uma integral de Fourier é:

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