a) Determine a transformada de Fourier de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Fourier da função que vale 1 quando e 0 caso contrário. Isso envolve a matéria de transformadas de Fourier, que é super útil para analisar como uma função se comporta em termos de frequências. Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Fourier e calcular uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
No nosso caso, é igual a 1 só entre e e zero fora disso. Então, a integral simplifica porque é zero fora desse intervalo.

Passo 3

Substituindo na definição, a transformada fica:
Ou seja, só precisamos integrar de a .

Passo 4

Vamos calcular essa integral. A antiderivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida. Sabemos que:
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A transformada de Fourier de é:

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Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
Seja . Calcule .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.