Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Fourier da função que vale 1 quando e 0 caso contrário. Isso envolve a matéria de transformadas de Fourier, que é super útil para analisar como uma função se comporta em termos de frequências. Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Fourier e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
No nosso caso, é igual a 1 só entre e e zero fora disso. Então, a integral simplifica porque é zero fora desse intervalo.
Passo 3
Substituindo na definição, a transformada fica:
Ou seja, só precisamos integrar de a .
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de em relação a é . Então:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida. Sabemos que: