a) Determine a transformada de Fourier de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Fourier da função
que vale 1 quando
e 0 caso contrário. Isso envolve a matéria de transformadas de Fourier, que é super útil para analisar como uma função se comporta em termos de frequências. Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Fourier e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função
:
No nosso caso,
é igual a 1 só entre
e
e zero fora disso. Então, a integral simplifica porque
é zero fora desse intervalo.
Passo 3
Substituindo
na definição, a transformada fica:
Ou seja, só precisamos integrar de
a
.
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida. Sabemos que:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A transformada de Fourier de
é: