Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
g)
g)
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a representação da função
usando uma integral de Fourier. A função dada é:
Isso faz parte do estudo de Análise de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender como expressar uma função em termos de uma integral de Fourier e calcular a transformada de Fourier dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a representação de Fourier de uma função
pode ser escrita como:
Aqui,
é a transformada de Fourier de
. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a definição da transformada de Fourier:
Vamos calcular essa integral para a função
dada.
Passo 4
Como
é uma função definida por partes, precisamos dividir a integral em duas partes: uma para
e outra para
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as integrais. Para
, temos:
Para
, temos:
Passo 6
Essas são integrais do tipo
, cuja solução é
, desde que a parte real de
seja negativa para garantir a convergência.
Calculando as integrais:
Para :
Para
Já que quando
,
.
Para
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 8
Vamos somar as frações:
Passo 9
Portanto:
Resposta
A representação da função
por uma integral de Fourier é:
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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
f)
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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
e)
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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
h)
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Prove que
e
.