Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
g)

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a representação da função usando uma integral de Fourier. A função dada é:
Isso faz parte do estudo de Análise de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender como expressar uma função em termos de uma integral de Fourier e calcular a transformada de Fourier dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a representação de Fourier de uma função pode ser escrita como:
Aqui, é a transformada de Fourier de . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Para encontrar , usamos a definição da transformada de Fourier:
Vamos calcular essa integral para a função dada.

Passo 4

Como é uma função definida por partes, precisamos dividir a integral em duas partes: uma para e outra para . Assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as integrais. Para , temos:
Para , temos:

Passo 6

Essas são integrais do tipo , cuja solução é , desde que a parte real de seja negativa para garantir a convergência.
Calculando as integrais:
Para :
Já que quando , .
Para :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 8

Vamos somar as frações:

Passo 9

Portanto:

Resposta

A representação da função por uma integral de Fourier é:

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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
f)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
e)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
h)
Prove que e .