Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a representação da função
por uma integral de Fourier. Isso envolve o estudo de transformadas de Fourier, que são usadas para expressar funções no domínio do tempo (ou espaço) em termos de suas frequências componentes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier
de uma função
é dada por:
E a representação inversa, que nos permite recuperar
a partir de
, é:
Nosso objetivo é encontrar
para a função
dada.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Note que a função é ímpar, já que
. Isso simplifica nossos cálculos porque a transformada de Fourier de funç��es ímpares envolve apenas componentes senoidais.
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição da transformada de Fourier:
Devido à definição de
, podemos dividir a integral em duas partes, para
e
:
Passo 5
Vamos simplificar as integrais. Primeiro, para
:
Agora, para
:
Fazendo uma mudança de variável
, temos:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Portanto, a transformada de Fourier da função
é:
Resposta
A representação da função
por uma integral de Fourier é: