Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
h) f(x) = { e^(-x), se x > 0; -e^(-x), se x < 0 }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a representação da função por uma integral de Fourier. Isso envolve o estudo de transformadas de Fourier, que são usadas para expressar funções no domínio do tempo (ou espaço) em termos de suas frequências componentes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é dada por:
E a representação inversa, que nos permite recuperar a partir de , é:
Nosso objetivo é encontrar para a função dada.

Passo 3

Vamos analisar a função :
Note que a função é ímpar, já que . Isso simplifica nossos cálculos porque a transformada de Fourier de funç��es ímpares envolve apenas componentes senoidais.

Passo 4

Vamos calcular usando a definição da transformada de Fourier:
Devido à definição de , podemos dividir a integral em duas partes, para e :

Passo 5

Vamos simplificar as integrais. Primeiro, para :
Agora, para :
Fazendo uma mudança de variável , temos:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 7

Portanto, a transformada de Fourier da função é:

Resposta

A representação da função por uma integral de Fourier é:

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