Seja
.
a) Expanda
em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
?
a) Expanda
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema nos dá uma função
definida no intervalo
e periódica com período
. A gente precisa expandir essa função em uma série de Fourier na forma exponencial e descobrir para quais valores da série ela converge em
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Fourier exponenciais, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier exponencial para uma função periódica com período
:
Aqui,
são os coeficientes de Fourier que a gente precisa calcular. Para encontrar esses coeficientes, usamos a fórmula:
No nosso caso,
, então vamos substituir isso na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular
:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando as expressões nos limites e simplificando, percebemos que parte simétrica da função se cancela, e finalmente obtemos:
Portanto, os coeficientes de Fourier são
.
Passo 5
Agora, substituímos os coeficientes
de volta na série de Fourier exponencial:
Como a função
é real, podemos reescrever a série usando senos, já que os termos com
positivo e negativo se combinam para formar termos imaginários puros que desaparecem, deixando apenas os termos reais.
Passo 6
Reescrevendo a série em termos de senos:
Então, a série de Fourier de
na forma exponencial é equivalente a:
Passo 7
Por último, vamos analisar para quais valores de
a série converge. De acordo com a teoria das séries de Fourier, a série converge para a média dos limites laterais da função nos pontos de descontinuidade. No nosso caso, em
e
, a função
tem descontinuidade porque, ao passar de
para
, ela “salta” de
para
.
Resposta
A expansão da função
em série de Fourier na forma exponencial é
A série converge para a média dos limites laterais nos pontos
.
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Seja
. Expanda
em série de Fourier na forma exponencial.
Determine a série de Fourier na forma exponencial de
Seja
.
b) Use a série determinada no item a) para calcular .
b) Use a série determinada no item a) para calcular
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a)
a)