Seja .
a) Expanda em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em ?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema nos dá uma função definida no intervalo e periódica com período . A gente precisa expandir essa função em uma série de Fourier na forma exponencial e descobrir para quais valores da série ela converge em . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Fourier exponenciais, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier exponencial para uma função periódica com período :
Aqui, são os coeficientes de Fourier que a gente precisa calcular. Para encontrar esses coeficientes, usamos a fórmula:
No nosso caso, , então vamos substituir isso na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular :
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. Seja e . Então, e .

Passo 4

Aplicando integração por partes:
Agora, avaliamos de a :
Calculando as expressões nos limites e simplificando, percebemos que parte simétrica da função se cancela, e finalmente obtemos:
Portanto, os coeficientes de Fourier são .

Passo 5

Agora, substituímos os coeficientes de volta na série de Fourier exponencial:
Como a função é real, podemos reescrever a série usando senos, já que os termos com positivo e negativo se combinam para formar termos imaginários puros que desaparecem, deixando apenas os termos reais.

Passo 6

Reescrevendo a série em termos de senos:
Então, a série de Fourier de na forma exponencial é equivalente a:

Passo 7

Por último, vamos analisar para quais valores de a série converge. De acordo com a teoria das séries de Fourier, a série converge para a média dos limites laterais da função nos pontos de descontinuidade. No nosso caso, em e , a função tem descontinuidade porque, ao passar de para , ela “salta” de para .

Resposta

A expansão da função em série de Fourier na forma exponencial é
A série converge para a média dos limites laterais nos pontos .

Exercícios relacionados

Seja . Expanda em série de Fourier na forma exponencial.
Determine a série de Fourier na forma exponencial de
Seja .
b) Use a série determinada no item a) para calcular .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a)