Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo: queremos representar a função definida por partes usando uma integral que envolva seno ou cosseno. O conteúdo aqui está ligado às séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como somas de funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a função nesses componentes trigonométricos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Isso significa que é zero fora do intervalo a , e tem valores constantes dentro desse intervalo.

Passo 3

Como queremos representar usando senos ou cossenos, vamos usar a Série de Fourier. Essa série permite expressar uma função periódica como uma soma infinita de termos de seno e cosseno.

Passo 4

Vamos verificar se é uma função par ou ímpar. Uma função par satisfaz e uma função ímpar satisfaz .
Calculando:
Como , a função é ímpar.

Passo 5

Para funções ímpares, a Série de Fourier possui apenas termos de seno. Portanto, vamos representar usando uma soma de senos multiplicados por coeficientes .

Passo 6

A fórmula da Série de Fourier para uma função ímpar é:
onde é metade do período da função.

Passo 7

No nosso caso, como a função está definida de a , o período completo é , então . Assim, a fórmula fica:

Passo 8

Os coeficientes são calculados pela fórmula:
Como :

Passo 9

Sabemos que nesse intervalo . Então:

Passo 10

Vamos calcular a integral:

Passo 11

Sabendo que , temos:

Passo 12

Substituindo de volta no :

Passo 13

Agora, substituímos os coeficientes na Série de Fourier:

Passo 14

Essa é a representação da função como uma série infinita de funções seno, que atende ao que foi pedido no enunciado.

Resposta

A representação de utilizando integrais de seno é:

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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
Esboce os gráficos de:
Esboce os gráficos de: