Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
Passo 1
Vamos resumir o que a pergunta está pedindo: queremos representar a função definida por partes usando uma integral que envolva seno ou cosseno. O conteúdo aqui está ligado às séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como somas de funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a função nesses componentes trigonométricos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Isso significa que é zero fora do intervalo a , e tem valores constantes dentro desse intervalo.
Passo 3
Como queremos representar usando senos ou cossenos, vamos usar a Série de Fourier. Essa série permite expressar uma função periódica como uma soma infinita de termos de seno e cosseno.
Passo 4
Vamos verificar se é uma função par ou ímpar. Uma função par satisfaz e uma função ímpar satisfaz .
Calculando:
Como , a função é ímpar.
Passo 5
Para funções ímpares, a Série de Fourier possui apenas termos de seno. Portanto, vamos representar usando uma soma de senos multiplicados por coeficientes .
Passo 6
A fórmula da Série de Fourier para uma função ímpar é:
onde é metade do período da função.
Passo 7
No nosso caso, como a função está definida de a , o período completo é , então . Assim, a fórmula fica:
Passo 8
Os coeficientes são calculados pela fórmula:
Como :
Passo 9
Sabemos que nesse intervalo . Então:
Passo 10
Vamos calcular a integral:
Passo 11
Sabendo que , temos:
Passo 12
Substituindo de volta no :
Passo 13
Agora, substituímos os coeficientes na Série de Fourier:
Passo 14
Essa é a representação da função como uma série infinita de funções seno, que atende ao que foi pedido no enunciado.
Resposta
A representação de utilizando integrais de seno é: