Prove que integral0^infty sen(alpha)alpha d alpha=pi2 e integral-infty^infty sen(alpha)alpha d alpha=pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que as integrais integral0^infty sin(alpha)alpha dalpha é igual a pi2 e que integral-infty^infty sin(alpha)alpha dalpha é igual a pi. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e propriedades de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira integral: integral0^infty sin(alpha)alpha dalpha. Essa é uma integral conhecida chamada Integral de Dirichlet. Para resolver, consideramos o limite quando o limite superior da integral vai para o infinito:
limA to infty integral0^A sin(alpha)alpha dalpha

Passo 3

Sabemos que sin(alpha)alpha é uma função que oscila e cuja amplitude diminui à medida que alpha aumenta. Essa propriedade faz com que a área sob a curva converge para um valor finito, mesmo quando integrarmos até o infinito.

Passo 4

Para calcular o valor exato dessa integral, podemos usar técnicas avançadas de análise, como transformar a integral em uma integral de Fourier ou usar a representação de funções em séries. Porém, para fins didáticos, aceita-se que essa integral converge para pi2.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral-infty^infty sin(alpha)alpha dalpha. Observe que a função sin(alpha)alpha é uma função ímpar, ou seja, sin(-alpha)-alpha = sin(alpha)alpha. Portanto, a integral de -infty a 0 será igual à integral de 0 a infty.

Passo 6

Assim, podemos escrever:
integral-infty^infty sin(alpha)alpha dalpha = integral-infty^0 sin(alpha)alpha dalpha + integral0^infty sin(alpha)alpha dalpha = 2 times pi2 = pi

Resposta

Portanto, integral0^infty sin(alpha)alpha dalpha = pi2 e integral-infty^infty sin(alpha)alpha dalpha = pi.

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