Prove que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que as integrais
é igual a
e que
é igual a
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e propriedades de funções ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira integral:
. Essa é uma integral conhecida chamada Integral de Dirichlet. Para resolver, consideramos o limite quando o limite superior da integral vai para o infinito:
Passo 3
Sabemos que
é uma função que oscila e cuja amplitude diminui à medida que
aumenta. Essa propriedade faz com que a área sob a curva converge para um valor finito, mesmo quando integrarmos até o infinito.
Passo 4
Para calcular o valor exato dessa integral, podemos usar técnicas avançadas de análise, como transformar a integral em uma integral de Fourier ou usar a representação de funções em séries. Porém, para fins didáticos, aceita-se que essa integral converge para
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
. Observe que a função
é uma função ímpar, ou seja,
. Portanto, a integral de
a
será igual à integral de
a
.
Passo 6
Assim, podemos escrever:
Resposta
Portanto,
e
.
Exercícios relacionados
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
h)
h)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
g)
g)
Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
a)
a)
Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
b)
b)