Prove que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que as integrais é igual a e que é igual a . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e propriedades de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira integral: . Essa é uma integral conhecida chamada Integral de Dirichlet. Para resolver, consideramos o limite quando o limite superior da integral vai para o infinito:

Passo 3

Sabemos que é uma função que oscila e cuja amplitude diminui à medida que aumenta. Essa propriedade faz com que a área sob a curva converge para um valor finito, mesmo quando integrarmos até o infinito.

Passo 4

Para calcular o valor exato dessa integral, podemos usar técnicas avançadas de análise, como transformar a integral em uma integral de Fourier ou usar a representação de funções em séries. Porém, para fins didáticos, aceita-se que essa integral converge para .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: . Observe que a função é uma função ímpar, ou seja, . Portanto, a integral de a será igual à integral de a .

Passo 6

Assim, podemos escrever:

Resposta

Portanto, e .

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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
h)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
g)
Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
a)
Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
b)