Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a representação integral de Fourier. A questão nos pede para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como as integrais de Fourier funcionam e aplicar técnicas de integração adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a representação integral de Fourier permite expressar funções em termos de suas componentes senoidais. Nesse caso, temos produtos de senos no numerador, o que sugere que podemos simplificar usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essas duas integrais separadamente.
Passo 5
Vamos considerar a integral geral:
Para resolver isso, podemos usar a transformada de Fourier ou métodos de análise de frações parciais, mas aqui vamos focar na abordagem direta.
Passo 6
Observamos que o denominador
pode ser fatorado como
. Isso sugere que podemos decompor a fração em frações parciais:
Substituindo isso na integral:
Passo 7
Essas integrais podem ser resolvidas usando a transformada de Laplace da função cosseno. Sabemos que:
E a integral de
de 0 a ∞ é:
Passo 8
Aplicando isso às nossas integrais:
Mas aqui, para
e
, os termos se simplificam considerando as condições de
e
.
Passo 9
Após simplificar e considerar as condições dadas, concluímos que a integral original se comporta de acordo com:
E