Determine uma representação paramétrica para cada superfície. A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está entre os planos z = -2 e z = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma representação paramétrica para a parte da esfera definida por que está entre os planos e . Vamos usar conceitos de geometria espacial e coordenadas paramétricas para isso.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma esfera no espaço pode ser descrita usando coordenadas esféricas. Isso facilita muito na hora de criar equações paramétricas. As coordenadas esféricas usam dois ângulos, geralmente e , para determinar a posição de um ponto na esfera.

Passo 3

Vamos definir as equações paramétricas para uma esfera com raio . As fórmulas são:
Aqui, varia de a e varia de a .

Passo 4

No nosso caso, a esfera tem a equação , o que significa que o raio é . Então, substituindo por nas equações paramétricas, temos:

Passo 5

Agora, precisamos considerar os limites dos planos e . Observando a equação paramétrica para , vemos que:
Para que esteja entre e , o ângulo deve variar de a , que já está coberto nas equações paramétricas que definimos. Portanto, não há necessidade de restringir mais os parâmetros.

Resposta

A representação paramétrica para a parte da esfera entre os planos e é dada por:
onde e .

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