Determine uma representação paramétrica para cada superfície. A parte da esfera que está entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma representação paramétrica para a parte da esfera definida por que está entre os planos e . Vamos usar conceitos de geometria espacial e coordenadas paramétricas para isso.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma esfera no espaço pode ser descrita usando coordenadas esféricas. Isso facilita muito na hora de criar equações paramétricas. As coordenadas esféricas usam dois ângulos, geralmente e , para determinar a posição de um ponto na esfera.
Passo 3
Vamos definir as equações paramétricas para uma esfera com raio . As fórmulas são:
Aqui, varia de a e varia de a .
Passo 4
No nosso caso, a esfera tem a equação , o que significa que o raio é . Então, substituindo por nas equações paramétricas, temos:
Passo 5
Agora, precisamos considerar os limites dos planos e . Observando a equação paramétrica para , vemos que:
Para que esteja entre e , o ângulo deve variar de a , que já está coberto nas equações paramétricas que definimos. Portanto, não há necessidade de restringir mais os parâmetros.
Resposta
A representação paramétrica para a parte da esfera entre os planos e é dada por: