Determine uma representação paramétrica para cada superfície. A parte do parabolóide elíptico que está acima do cone

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um parabolóide elíptico dado pela equação e um cone representado por . Nosso objetivo é achar uma representação paramétrica para a parte do parabolóide que está acima desse cone. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o parabolóide e o cone se interceptam. Isso vai nos ajudar a definir os limites da região que estamos interessados. Para isso, vamos igualar as duas equações:
Substituindo na equação do parabolóide:
Simplificando:
Essa é a equação que define a curva de interseção entre o parabolóide e o cone.

Passo 3

Para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas polares, já que as equações possuem simetria radial. Vamos definir:
Onde é a distância radial e é o ângulo.

Passo 4

Agora, substituímos e na equação do parabolóide para encontrar em termos de e :

Passo 5

Como queremos a parte do parabolóide que está acima do cone , devemos impor a condição:
Essa inequação define o intervalo de e para os quais o parabolóide está acima do cone.

Passo 6

Finalmente, a representação paramétrica da superfície é dada por:
Onde e variam de acordo com a inequação encontrada no passo anterior.

Resposta

A representação paramétrica da parte do parabolóide que está acima do cone é:
Com e variando de acordo com a condição:

Exercícios relacionados

6
Verifique se a função é par ou ímpar.
a)
Calcule os seguintes limites: 1)
Resolva as equações exponenciais: c)
Determine uma representação paramétrica para cada superfície. A parte da esfera que está entre os planos