Determine uma representação paramétrica para cada superfície. A parte do parabolóide elíptico que está acima do cone
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um parabolóide elíptico dado pela equação e um cone representado por . Nosso objetivo é achar uma representação paramétrica para a parte do parabolóide que está acima desse cone. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o parabolóide e o cone se interceptam. Isso vai nos ajudar a definir os limites da região que estamos interessados. Para isso, vamos igualar as duas equações:
Substituindo na equação do parabolóide:
Simplificando:
Essa é a equação que define a curva de interseção entre o parabolóide e o cone.
Passo 3
Para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas polares, já que as equações possuem simetria radial. Vamos definir:
Onde é a distância radial e é o ângulo.
Passo 4
Agora, substituímos e na equação do parabolóide para encontrar em termos de e :
Passo 5
Como queremos a parte do parabolóide que está acima do cone , devemos impor a condição:
Essa inequação define o intervalo de e para os quais o parabolóide está acima do cone.
Passo 6
Finalmente, a representação paramétrica da superfície é dada por:
Onde e variam de acordo com a inequação encontrada no passo anterior.
Resposta
A representação paramétrica da parte do parabolóide que está acima do cone é: