Resolva as equações exponenciais: c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação exponencial para resolver:
Aqui, estamos trabalhando com equações exponenciais, que envolvem potências com variáveis nos expoentes. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e logaritmos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número diferente de zero elevado a zero é igual a 1. Ou seja:
Então, se conseguimos fazer com que a expressão inteira tenha um expoente zero, a equação será satisfeita. Isso significa que:
Mas como temos bases diferentes (9 e 7), não dá pra somar os expoentes diretamente. Então, vamos usar logaritmos para resolver.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural é representado por “ln” e é útil para lidar com exponenciais. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o log do produto é igual à soma dos logs. Ou seja:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 5

Em seguida, usamos outra propriedade dos logaritmos que diz que o log de uma potência é igual ao expoente vezes o log da base:
Aplicando isso:

Passo 6

Sabemos que o logaritmo de 1 é zero:
Então, nossa equação fica:

Passo 7

Vamos distribuir os termos:

Passo 8

Agora, vamos agrupar os termos que contêm e os que são constantes:

Passo 9

Fatorando nos termos que o contêm:

Passo 10

Isolando o termo que contém :

Passo 11

Fatorando 5 no lado esquerdo e 3 no direito:

Passo 12

Dividindo ambos os lados por :

Passo 13

Observamos que se cancela no numerador e denominador:

Resposta

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