Resolva as equações exponenciais: c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação exponencial para resolver:
Aqui, estamos trabalhando com equações exponenciais, que envolvem potências com variáveis nos expoentes. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e logaritmos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número diferente de zero elevado a zero é igual a 1. Ou seja:
Então, se conseguimos fazer com que a expressão inteira tenha um expoente zero, a equação será satisfeita. Isso significa que:
Mas como temos bases diferentes (9 e 7), não dá pra somar os expoentes diretamente. Então, vamos usar logaritmos para resolver.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural é representado por “ln” e é útil para lidar com exponenciais. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o log do produto é igual à soma dos logs. Ou seja:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 5
Em seguida, usamos outra propriedade dos logaritmos que diz que o log de uma potência é igual ao expoente vezes o log da base:
Aplicando isso:
Passo 6
Sabemos que o logaritmo de 1 é zero:
Então, nossa equação fica:
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Passo 8
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os que são constantes:
Passo 9
Fatorando
nos termos que o contêm:
Passo 10
Isolando o termo que contém
:
Passo 11
Fatorando 5 no lado esquerdo e 3 no direito:
Passo 12
Dividindo ambos os lados por :
Passo 13
Observamos que
se cancela no numerador e denominador:
Resposta
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