Determine uma representação paramétrica da superfície do cone z = 2 * raiz(x^2 + y^2) que está entre os planos z = 2 e z = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma representação paramétrica da superfície do cone dado pela equação , mas só na parte que está entre os planos e . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especialmente o estudo de superfícies no espaço. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, já que lidamos com um cone que tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Isso descreve um cone com o vértice na origem e que se abre para cima. A ideia é representar e em termos de parâmetros que facilitem a descrição da superfície.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Nas coordenadas polares, temos:
Aqui, é a distância do ponto até o eixo e é o ângulo em torno do eixo .

Passo 4

Substituindo e na equação do cone, temos:
Isso simplifica a relação entre e para .

Passo 5

Agora, queremos que a superfície do cone esteja entre os planos e . Usando a relação , podemos determinar os limites para :
  • Quando :
  • Quando :
Então, varia de 1 a 2.

Passo 6

Com isso, podemos definir os parâmetros para a representação paramétrica:
  • Ângulo : varia de a (uma volta completa)
  • Raio : varia de a
Então, as equações paramétricas ficam:

Resposta

A representação paramétrica da superfície do cone entre os planos e é dada por:
onde varia de a e varia de a .

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