Seja
uma função diferenciável e defina
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função diferenciável
e definimos outra função
. O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e aplicar a regra do produto. Vamos passo a passo para entender como chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembre-se que, para funções de duas variáveis, as derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com
.
A função
é um produto de duas funções:
e
. Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
-
- Para
, usamos a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
da mesma maneira.
Usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
-
- Para
, aplicamos a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão que precisamos mostrar:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Vamos distribuir os termos:
Observamos que os termos com
se cancelam, pois são iguais em magnitude e sinais opostos:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, vamos comparar com o lado direito da igualdade que queremos mostrar:
Fatorando
novamente:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Encontre a massa do cilindro
, cortado pelos planos
e
, se a densidade superficial está dada por
Determine uma representação paramétrica da superfície do cone
que está entre os planos
e
seja contínua em
.
Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.