(2,0 pt) Seja varphi: R R uma função diferenciável e defina
f(x, y)=(2 x+y) cdot varphi(x cdot y)
Mostre que
x cdot partial fpartial x(x, y)-y cdot partial fpartial y(x, y)=f(x, y)-2 y cdot varphi(x cdot y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função diferenciável varphi: R R e definimos outra função f(x, y) = (2x + y) cdot varphi(x cdot y). O objetivo é mostrar que:
x cdot partial fpartial x(x, y) - y cdot partial fpartial y(x, y) = f(x, y) - 2 y cdot varphi(x cdot y)
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e aplicar a regra do produto. Vamos passo a passo para entender como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y. Lembre-se que, para funções de duas variáveis, as derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com partial fpartial x(x, y).
A função f(x, y) = (2x + y) cdot varphi(x cdot y) é um produto de duas funções: (2x + y) e varphi(x cdot y). Usamos a regra do produto para derivar:
partial fpartial x = partialpartial x(2x + y) cdot varphi(x cdot y) + (2x + y) cdot partialpartial xvarphi(x cdot y)
Calculando cada parte:
  • partialpartial x(2x + y) = 2
  • Para partialpartial xvarphi(x cdot y), usamos a regra da cadeia: partialpartial xvarphi(x cdot y) = varphi'(x cdot y) cdot y
Então, temos:
partial fpartial x = 2 cdot varphi(x cdot y) + (2x + y) cdot varphi'(x cdot y) cdot y

Passo 3

Agora, vamos calcular partial fpartial y(x, y) da mesma maneira.
Usando a regra do produto:
partial fpartial y = partialpartial y(2x + y) cdot varphi(x cdot y) + (2x + y) cdot partialpartial yvarphi(x cdot y)
Calculando cada parte:
  • partialpartial y(2x + y) = 1
  • Para partialpartial yvarphi(x cdot y), aplicamos a regra da cadeia: partialpartial yvarphi(x cdot y) = varphi'(x cdot y) cdot x
Então, temos:
partial fpartial y = 1 cdot varphi(x cdot y) + (2x + y) cdot varphi'(x cdot y) cdot x

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão que precisamos mostrar:
x cdot partial fpartial x - y cdot partial fpartial y
Substituindo as derivadas que calculamos:
x cdot [2 varphi(x cdot y) + (2x + y) varphi'(x cdot y) y] - y cdot [varphi(x cdot y) + (2x + y) varphi'(x cdot y) x]
Vamos distribuir os termos:
= 2x varphi(x cdot y) + x(2x + y) y varphi'(x cdot y) - y varphi(x cdot y) - y(2x + y) x varphi'(x cdot y)
Observamos que os termos com varphi'(x cdot y) se cancelam, pois são iguais em magnitude e sinais opostos:
2x varphi(x cdot y) - y varphi(x cdot y)
Fatorando varphi(x cdot y):
(2x - y) varphi(x cdot y)

Passo 5

Agora, vamos comparar com o lado direito da igualdade que queremos mostrar:
f(x, y) - 2 y cdot varphi(x cdot y) = (2x + y) varphi(x cdot y) - 2 y varphi(x cdot y)
Fatorando varphi(x cdot y) novamente:
(2x + y - 2y) varphi(x cdot y) = (2x - y) varphi(x cdot y)

Resposta

Assim, mostramos que:
x cdot partial fpartial x(x, y) - y cdot partial fpartial y(x, y) = f(x, y) - 2 y cdot varphi(x cdot y)

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