Seja uma função diferenciável e defina
Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função diferenciável e definimos outra função . O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e aplicar a regra do produto. Vamos passo a passo para entender como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Lembre-se que, para funções de duas variáveis, as derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com .
A função é um produto de duas funções: e . Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
  • Para , usamos a regra da cadeia:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular da mesma maneira.
Usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
  • Para , aplicamos a regra da cadeia:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão que precisamos mostrar:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Vamos distribuir os termos:
Observamos que os termos com se cancelam, pois são iguais em magnitude e sinais opostos:
Fatorando :

Passo 5

Agora, vamos comparar com o lado direito da igualdade que queremos mostrar:
Fatorando novamente:

Resposta

Assim, mostramos que:

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Encontre a massa do cilindro , cortado pelos planos e , se a densidade superficial está dada por
Determine uma representação paramétrica da superfície do cone que está entre os planos e
Determine o valor de de modo que
seja contínua em .
Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.