Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem a função e precisa:
a) Encontrar o domínio da função,
b) Encontrar a imagem da função,
c) Descrever as curvas de nível da função,
d) Encontrar a fronteira do domínio da função,
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas,
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Vamos precisar entender conceitos de domínio, imagem, curvas de nível, fronteira, regiões abertas/fechadas e se algo é limitado. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida.
Para , não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de e .
Domínio: (todos os pares ordenados reais)

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir.
Para , vamos analisar os possíveis valores que pode assumir.
  • Se , então .
  • Se , .
  • Se , .
Como e podem ser quaisquer números reais, pode assumir qualquer valor real, positivo, negativo ou zero.
Imagem: (todos os números reais)

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Para , onde é uma constante.
Analisando a equação :
  • Se , temos , que representa uma hipérbole que se abre horizontalmente.
  • Se , a equação também representa uma hipérbole, mas que se abre verticalmente.
  • Se , a equação se reduz a , que são as retas e .
Curvas de nível: Hipérboles horizontais para , hipérboles verticais para e retas para .

Passo 5

d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos que podem ser aproximados tanto por pontos dentro do conjunto quanto por pontos fora dele.
Como o domínio da função é , que é todo o plano, não há uma fronteira própria, pois não há limites ou bordas no plano inteiro.
Fronteira do domínio: Não existe fronteira, já que o domínio é o plano todo.

Passo 6

e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
  • Região aberta: Não inclui sua fronteira.
  • Região fechada: Inclui sua fronteira.
  • Nenhuma das duas: Caso não se enquadre nas definições acima.
Como o domínio é , que não tem fronteira, tecnicamente, ele é tanto aberto quanto fechado no sentido topológico, porque não há pontos de fronteira a serem incluídos ou excluídos.
Conclusão: O domínio é uma região aberta e fechada (também chamada de conjunto clopen).

Passo 7

f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito.
Como o domínio é , que se estende infinitamente em todas as direções, ele não está contido em nenhum círculo de raio finito.
Conclusão: O domínio é não limitado.

Resposta

a) Domínio:
b) Imagem:
c) Curvas de nível: Hipérboles horizontais para , hipérboles verticais para e retas e para
d) Fronteira do domínio: Não existe, já que o domínio é todo o plano
e) O domínio é uma região aberta e fechada (clopen)
f) O domínio é não limitado

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