Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem a função
e precisa:
a) Encontrar o domínio da função,
b) Encontrar a imagem da função,
c) Descrever as curvas de nível da função,
d) Encontrar a fronteira do domínio da função,
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas,
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Vamos precisar entender conceitos de domínio, imagem, curvas de nível, fronteira, regiões abertas/fechadas e se algo é limitado. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
a) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida.
Para
, não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de
e
.
Domínio:
(todos os pares ordenados
reais)
Passo 3
b) Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir.
Para
, vamos analisar os possíveis valores que
pode assumir.
- Se
, então . - Se
, . - Se
, .
Como
e
podem ser quaisquer números reais,
pode assumir qualquer valor real, positivo, negativo ou zero.
Imagem:
(todos os números reais)
Passo 4
c) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Para
, onde
é uma constante.
Analisando a equação
:
- Se
, temos , que representa uma hipérbole que se abre horizontalmente. - Se
, a equação também representa uma hipérbole, mas que se abre verticalmente. - Se
, a equação se reduz a , que são as retas e .
Curvas de nível: Hipérboles horizontais para
, hipérboles verticais para
e retas para
.
Passo 5
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos que podem ser aproximados tanto por pontos dentro do conjunto quanto por pontos fora dele.
Como o domínio da função
é
, que é todo o plano, não há uma fronteira própria, pois não há limites ou bordas no plano inteiro.
Fronteira do domínio: Não existe fronteira, já que o domínio é o plano todo.
Passo 6
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
- Região aberta: Não inclui sua fronteira.
- Região fechada: Inclui sua fronteira.
- Nenhuma das duas: Caso não se enquadre nas definições acima.
Como o domínio é
, que não tem fronteira, tecnicamente, ele é tanto aberto quanto fechado no sentido topológico, porque não há pontos de fronteira a serem incluídos ou excluídos.
Conclusão: O domínio é uma região aberta e fechada (também chamada de conjunto clopen).
Passo 7
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito.
Como o domínio é
, que se estende infinitamente em todas as direções, ele não está contido em nenhum círculo de raio finito.
Conclusão: O domínio é não limitado.
Resposta
a) Domínio:
b) Imagem:
c) Curvas de nível: Hipérboles horizontais para
, hipérboles verticais para
e retas
e
para
d) Fronteira do domínio: Não existe, já que o domínio é todo o plano
e) O domínio é uma região aberta e fechada (clopen)
f) O domínio é não limitado
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Seja
a função definida por
$(a) Encontre a inversa de
.
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