Encontre a massa do cilindro , cortado pelos planos e , se a densidade superficial está dada por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um cilindro definido pela equação com . Isso significa que estamos lidando com um cilindro circular reto de raio 3 (já que ), que se estende ao longo do eixo x e está restrito ao semieixo positivo de z. Além disso, o cilindro é cortado pelos planos e , ou seja, estamos olhando para uma “fatia” desse cilindro entre esses dois planos. A densidade superficial é constante e igual a 1. Nosso objetivo é encontrar a massa desse cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar:
Conhecer a geometria do cilindro e como parametrizá-lo.
Entender o que é densidade superficial e como calcular massa através de integrais de superfície.
Utilizar coordenadas polares (no plano yz) para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro está alinhado com o eixo x e a equação representa um círculo de raio 3 no plano yz, podemos usar coordenadas polares para descrever os pontos na superfície.
Vamos definir:
onde varia de 0 a porque .
Passo 3
Agora, precisamos expressar a posição de um ponto na superfície do cilindro em termos dessas coordenadas. Como o cilindro se estende de a , temos:
Então, a parametrização completa da superfície é:
onde varia de 0 a 3 e varia de 0 a .
Passo 4
Para encontrar a massa, precisamos calcular a integral da densidade superficial sobre a superfície do cilindro. A massa é dada por:
Como , temos:
onde é o elemento de área na superfície do cilindro.
Passo 5
Vamos calcular . Na parametrização que fizemos, é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas da parametrização em relação a e a , ou seja: