Encontre a massa do cilindro , cortado pelos planos e , se a densidade superficial está dada por

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um cilindro definido pela equação com . Isso significa que estamos lidando com um cilindro circular reto de raio 3 (já que ), que se estende ao longo do eixo x e está restrito ao semieixo positivo de z. Além disso, o cilindro é cortado pelos planos e , ou seja, estamos olhando para uma “fatia” desse cilindro entre esses dois planos. A densidade superficial é constante e igual a 1. Nosso objetivo é encontrar a massa desse cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer a geometria do cilindro e como parametrizá-lo.
  • Entender o que é densidade superficial e como calcular massa através de integrais de superfície.
  • Utilizar coordenadas polares (no plano yz) para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro está alinhado com o eixo x e a equação representa um círculo de raio 3 no plano yz, podemos usar coordenadas polares para descrever os pontos na superfície.
Vamos definir:
onde varia de 0 a porque .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a posição de um ponto na superfície do cilindro em termos dessas coordenadas. Como o cilindro se estende de a , temos:
Então, a parametrização completa da superfície é:
onde varia de 0 a 3 e varia de 0 a .

Passo 4

Para encontrar a massa, precisamos calcular a integral da densidade superficial sobre a superfície do cilindro. A massa é dada por:
Como , temos:
onde é o elemento de área na superfície do cilindro.

Passo 5

Vamos calcular . Na parametrização que fizemos, é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas da parametrização em relação a e a , ou seja:
Calculando as derivadas:
O produto vetorial é:
A magnitude desse vetor é:
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos na integral da massa:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a massa fica:

Resposta

A massa do cilindro é unidades de massa.

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Mostre que
Determine o valor de de modo que
seja contínua em .