Determine uma representação paramétrica da superfície do cone que está entre os planos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma representação paramétrica da superfície do cone dado pela equação , mas só na parte que está entre os planos e . A matéria envolvida aqui é **Geometria Analítica**, especialmente o estudo de superfícies no espaço. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, já que lidamos com um cone que tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Isso descreve um cone com o vértice na origem e que se abre para cima. A ideia é representar e em termos de parâmetros que facilitem a descrição da superfície.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Nas coordenadas polares, temos:
Aqui, é a distância do ponto até o eixo e é o ângulo em torno do eixo .
Passo 4
Substituindo e na equação do cone, temos:
Isso simplifica a relação entre e para .
Passo 5
Agora, queremos que a superfície do cone esteja entre os planos e . Usando a relação , podemos determinar os limites para :
- Quando :
- Quando :
Então, varia de 1 a 2.
Passo 6
Com isso, podemos definir os parâmetros para a representação paramétrica:
- **Ângulo **: varia de a (uma volta completa)
- **Raio **: varia de a
Então, as equações paramétricas ficam:
Resposta
A representação paramétrica da superfície do cone entre os planos e é dada por:
onde varia de a e varia de a .