Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. A porção no primeiro octante do cone z = ((x^2 + y^2)^(1/2)) / 2 entre os planos z = 0 e z = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma representação paramétrica para uma parte específica de um cone. A gente vai trabalhar com coordenadas paramétricas, que é uma forma de descrever superfícies usando parâmetros como ângulos e distâncias. Precisamos focar na parte do cone que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) e que está entre os planos z=0 e z=3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cone: . Isso significa que para cada ponto (x, y, z) na superfície, o valor de z é a metade da distância do ponto até o eixo z. Para facilitar, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e .

Passo 3

Usando coordenadas cilíndricas, a equação do cone fica: . Aqui, é a distância do ponto até o eixo z e é o ângulo em torno do eixo z. Como estamos no primeiro octante, os ângulos vão de 0 a (ou 90 graus).

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites para os parâmetros. Sabemos que z varia de 0 a 3. Da equação , podemos resolver para : . Então, vai de 0 a .

Passo 5

Com isso, podemos escrever a representação paramétrica da superfície:
Onde:

Resposta

A representação paramétrica da superfície é:
Com e .

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