Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. A porção no primeiro octante do cone entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma representação paramétrica para uma parte específica de um cone. A gente vai trabalhar com coordenadas paramétricas, que é uma forma de descrever superfícies usando parâmetros como ângulos e distâncias. Precisamos focar na parte do cone que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) e que está entre os planos z=0 e z=3.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cone: . Isso significa que para cada ponto (x, y, z) na superfície, o valor de z é a metade da distância do ponto até o eixo z. Para facilitar, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e .
Passo 3
Usando coordenadas cilíndricas, a equação do cone fica: . Aqui, é a distância do ponto até o eixo z e é o ângulo em torno do eixo z. Como estamos no primeiro octante, os ângulos vão de 0 a (ou 90 graus).
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites para os parâmetros. Sabemos que z varia de 0 a 3. Da equação , podemos resolver para : . Então, vai de 0 a .
Passo 5
Com isso, podemos escrever a representação paramétrica da superfície: