Identifique e faça um esboço da imagem da superfície parametrizada dada por r(u, v) = (u, (1 - u^2 - v^2), v), u^2 + v^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar a imagem de uma superfície parametrizada pela função , onde . Isso está ligado ao estudo de superfícies no cálculo multivariável, especialmente como parametrizei-las e quais formas elas representam no espaço 3D. Para resolver isso, vamos analisar a equação dada e entender que tipo de superfície ela descreve.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a parametrização . Aqui, e são parâmetros que variam dentro do domínio , ou seja, dentro do círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com o espaço tridimensional. A função nos dá as coordenadas , , e . Assim, podemos ver que (substituindo por e por ).

Passo 4

A equação é a equação de uma parábola invertida em três dimensões. Mais especificamente, ela representa uma superf��cie chamada de paraboloide elíptico, que tem a forma de uma “tigela” virada para baixo.

Passo 5

Além disso, o domínio limita a superfície para os valores de e dentro do círculo de raio 1. Isso significa que estamos olhando apenas para a parte do paraboloide que está diretamente acima do disco unitário no plano .

Passo 6

Para fazer o esboço, imagine uma tigela invertida (paraboloide) com a borda cortada pelo círculo de raio 1 no plano . A superfície se estende a partir do ponto mais alto (quando ) e desce até nas bordas do círculo .

Resposta

A superfície parametrizada é um paraboloide elíptico invertido, limitado pelo círculo no plano . Ela se assemelha a uma “tigela” virada para baixo, com a parte mais alta em e descendo até nas bordas do círculo.

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