Identifique e faça um esboço da imagem da superfície parametrizada dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar a imagem de uma superfície parametrizada pela função
, onde
. Isso está ligado ao estudo de superfícies no cálculo multivariável, especialmente como parametrizei-las e quais formas elas representam no espaço 3D. Para resolver isso, vamos analisar a equação dada e entender que tipo de superfície ela descreve.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a parametrização
. Aqui,
e
são parâmetros que variam dentro do domínio
, ou seja, dentro do círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com o espaço tridimensional. A função nos dá as coordenadas
,
, e
. Assim, podemos ver que
(substituindo
por
e
por
).
Passo 4
A equação
é a equação de uma parábola invertida em três dimensões. Mais especificamente, ela representa uma superf��cie chamada de paraboloide elíptico, que tem a forma de uma “tigela” virada para baixo.
Passo 5
Além disso, o domínio
limita a superfície para os valores de
e
dentro do círculo de raio 1. Isso significa que estamos olhando apenas para a parte do paraboloide que está diretamente acima do disco unitário no plano
.
Passo 6
Para fazer o esboço, imagine uma tigela invertida (paraboloide) com a borda cortada pelo círculo de raio 1 no plano
. A superfície se estende a partir do ponto mais alto
(quando
) e desce até
nas bordas do círculo
.
Resposta
A superfície parametrizada é um paraboloide elíptico invertido, limitado pelo círculo
no plano
. Ela se assemelha a uma “tigela” virada para baixo, com a parte mais alta em
e descendo até
nas bordas do círculo.