l)

Passo 1

Então, temos que resolver a integral ∫ tan³x sec⁴x dx. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas e métodos de substituição. Vamos precisar lembrar que tanx = senx/cosx e secx = 1/cosx, além de saber como manipular essas funções para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan³x em termos de senx e cosx para facilitar a integração:
tan³x = (senx/cosx)³ = sen³x / cos³x
Então, a integral fica:
∫ tan³x sec⁴x dx = ∫ (sen³x / cos³x) * (1 / cos⁴x) dx = ∫ sen³x / cos⁷x dx

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade sen²x = 1 - cos²x para simplificar o numerador:
sen³x = senx * sen²x = senx * (1 - cos²x)
Substituindo na integral:
∫ senx * (1 - cos²x) / cos⁷x dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
∫ senx / cos⁷x dx - ∫ senx * cos²x / cos⁷x dx = ∫ senx / cos⁷x dx - ∫ senx / cos⁵x dx

Passo 5

Agora, vamos usar a substituição. Vamos deixar u = cosx. Então, du/dx = -senx, ou seja, du = -senx dx. Isso significa que senx dx = -du.

Passo 6

Aplicando a substituição na primeira integral:
∫ senx / cos⁷x dx = -∫ 1 / u⁷ du = -∫ u^(-7) du
E na segunda integral:
∫ senx / cos⁵x dx = -∫ 1 / u⁵ du = -∫ u^(-5) du

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo:
-∫ u^(-7) du = - [ u^(-6) / (-6) ] + C = (1/6) u^(-6) + C
-∫ u^(-5) du = - [ u^(-4) / (-4) ] + C = (1/4) u^(-4) + C

Passo 8

Substituindo u de volta por cosx:
(1/6) cos^(-6)x + (1/4) cos^(-4)x + C = (1/6) sec⁶x + (1/4) sec⁴x + C

Resposta

A integral ∫ tan³x sec⁴x dx é igual a (1/6) sec⁶x + (1/4) sec⁴x + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados

3-32 Derive a função.
Determine a série de Taylor ou Maclaurin das funções dadas abaixo em torno de :
Determine uma representação paramétrica para a superfície: a parte da esfera que está acima do cone ;
Considere dois capacitores idênticos e uma fonte externa de potencial. (a) Compare a energia total armazenada nos capacitores, quando estão ligados ao potencial aplicado em série e em paralelo. (b) Compare a quantidade máxima de carga armazenada em cada um desses casos. © O armazenamento de energia em um capacitor pode ser limitado pelo campo elétrico máximo entre as placas. Qual é a razão do campo elétrico para as combinações em série e em paralelo?