Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm constante e quais têm constante.
9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que você está pedindo é para plotar o gráfico de uma superfície parametrizada usando um computador. A superfície é definida pela função , onde varia de -1 a 1 e varia de 0 a . Além disso, você precisa identificar quais curvas na grade têm constante e quais têm constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies parametrizadas e como plotá-las usando ferramentas como o MATLAB, Python (com matplotlib), ou outro software de plotagem 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície parametrizada. Basicamente, é uma maneira de descrever uma superfície no espaço tridimensional usando duas variáveis, aqui chamadas de e . Cada par gera um ponto na superfície.
No nosso caso, as equações são:
Isso significa que, para cada valor de e , temos um ponto na superfície.

Passo 3

Para plotar essa superfície, podemos usar Python com a biblioteca matplotlib, que facilita a criação de gráficos 3D. Vou te mostrar como fazer isso:
Primeiro, precisamos importar as bibliotecas necessárias:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

Passo 4

Em seguida, definimos os intervalos para e :
u = np.linspace(-1, 1, 100)
v = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
u, v = np.meshgrid(u, v)
Aqui, np.linspace cria 100 pontos igualmente espaçados entre -1 e 1 para , e entre 0 e para . np.meshgrid cria uma grade a partir desses pontos.

Passo 5

Agora, calculamos as coordenadas , e usando as equações dadas:
x = u * np.cos(v)
y = u * np.sin(v)
z = u**5
Isso nos dá as coordenadas de cada ponto na superfície para todos os valores de e .

Passo 6

Vamos plotar a superfície usando matplotlib:
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()
Esse código cria uma figura 3D e plota a superfície com a coloração ‘viridis’. As etiquetas dos eixos ajudam a identificar cada direção.

Passo 7

Agora, sobre as curvas da grade:
  • Curvas com constante: Essas curvas são obtidas mantendo fixo e variando . Isso resulta em círculos (ou elipses) no plano com altura . Elas representam seções horizontais da superfície.
  • Curvas com constante: Aqui, mantemos fixo e variamos . Isso gera curvas que se estendem radialmente a partir da origem no plano com a altura . Essas curvas mostram como a superfície se estende verticalmente conforme aumenta ou diminui.

Resposta

As curvas da grade com constante são curvas circulares horizontais na superfície, mantendo fixo e variando . Já as curvas com constante são curvas radiais que se estendem verticalmente na superfície, mantendo fixo e variando .

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Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm constante e quais têm constante.
10. ,
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm constante e quais têm constante.
7.
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo o círculo do plano , com centro em e raio . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos e mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e .
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
Representar o domínio das seguintes funções graficamente e encontrar as curvas de nivel :