Determine uma representação parametrizada para a parte da esfera que se situa acima do cone .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera definida por e um cone dado por . O objetivo é encontrar uma representação parametrizada para a parte da esfera que está acima desse cone. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como parametrizar superfícies tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A esfera tem raio e está centrada na origem. O cone é um cone circular reto que se abre para cima. Queremos a parte da esfera que fica acima desse cone, ou seja, onde é maior ou igual a .
Passo 3
Para parametrizar a esfera, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, os pontos no espaço são descritos por , onde:
é a distância do ponto à origem (neste caso, é constante, igual ao raio da esfera).
é o ângulo no plano a partir do eixo .
é o ângulo a partir do eixo para o ponto.
A parametrização da esfera fica assim:
onde varia de a e varia de a .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o intervalo de que satisfaz a condição de estar acima do cone . Substituindo as parametrizações na equação do cone:
Então, para estar acima do cone, precisamos que seja menor ou igual a .
Passo 5
Com isso, nossa parametrização fica limitada por de a . Portanto, a representação parametrizada para a parte da esfera acima do cone é: