Determine uma representação parametrizada para a parte da esfera que se situa acima do cone .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera definida por e um cone dado por . O objetivo é encontrar uma representação parametrizada para a parte da esfera que está acima desse cone. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como parametrizar superfícies tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A esfera tem raio e está centrada na origem. O cone é um cone circular reto que se abre para cima. Queremos a parte da esfera que fica acima desse cone, ou seja, onde é maior ou igual a .

Passo 3

Para parametrizar a esfera, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, os pontos no espaço são descritos por , onde:
  • é a distância do ponto à origem (neste caso, é constante, igual ao raio da esfera).
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .
  • é o ângulo a partir do eixo para o ponto.
A parametrização da esfera fica assim:
onde varia de a e varia de a .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o intervalo de que satisfaz a condição de estar acima do cone . Substituindo as parametrizações na equação do cone:
Então, para estar acima do cone, precisamos que seja menor ou igual a .

Passo 5

Com isso, nossa parametrização fica limitada por de a . Portanto, a representação parametrizada para a parte da esfera acima do cone é:
com variando de a e variando de a .

Resposta

A representação parametrizada é dada por
onde e .

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Determine o domínio das funções:
(d)