Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores
e
.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores
Passo 1
Vamos entender o enunciado! A questão pede para a gente encontrar uma representação parametrizada de um plano que passa pela origem e contém dois vetores:
e
. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores. Para resolver isso, vamos usar os vetores para ajudar a descrever o plano em termos de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que um plano em três dimensões pode ser descrito usando um ponto inicial e dois vetores que ficam dentro desse plano. Aqui, sabemos que o plano passa pela origem, que é o ponto
.
Os vetores dados são:
Agora que temos os vetores, podemos parametrizar o plano. A forma geral de uma parametrização que utiliza um ponto e dois vetores é dada por:
onde
Substituindo os valores que temos:
Passo 3
Agora vamos simplificar isso. Fazendo a soma:
- Para
: - Para
: - Para
:
Assim, conseguimos expressar o plano em forma paramétrica. Juntando tudo, temos a representação parametrizada do plano:
onde
Resposta
A representação parametrizada do plano é dada por
, onde
e
são parâmetros.
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