Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores e .

Passo 1

Vamos entender o enunciado! A questão pede para a gente encontrar uma representação parametrizada de um plano que passa pela origem e contém dois vetores: e . Estamos lidando com geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores. Para resolver isso, vamos usar os vetores para ajudar a descrever o plano em termos de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que um plano em três dimensões pode ser descrito usando um ponto inicial e dois vetores que ficam dentro desse plano. Aqui, sabemos que o plano passa pela origem, que é o ponto .
Os vetores dados são:
Agora que temos os vetores, podemos parametrizar o plano. A forma geral de uma parametrização que utiliza um ponto e dois vetores é dada por:

onde é um ponto no plano (neste caso, a origem) e e são parâmetros.
Substituindo os valores que temos:

Passo 3

Agora vamos simplificar isso. Fazendo a soma:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Assim, conseguimos expressar o plano em forma paramétrica. Juntando tudo, temos a representação parametrizada do plano:

onde e são os parâmetros.

Resposta

A representação parametrizada do plano é dada por , onde e são parâmetros.

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