Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores i-j e j-k.

Passo 1

Vamos entender o enunciado! A questão pede para a gente encontrar uma representação parametrizada de um plano que passa pela origem e contém dois vetores: i-j e j-k. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores. Para resolver isso, vamos usar os vetores para ajudar a descrever o plano em termos de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que um plano em três dimensões pode ser descrito usando um ponto inicial e dois vetores que ficam dentro desse plano. Aqui, sabemos que o plano passa pela origem, que é o ponto (0, 0, 0).
Os vetores dados são:
  • v1 = i - j = (1, -1, 0)
  • v2 = j - k = (0, 1, -1)
Agora que temos os vetores, podemos parametrizar o plano. A forma geral de uma parametrização que utiliza um ponto e dois vetores é dada por:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + s cdot v1 + t cdot v2
onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano (neste caso, a origem) e s e t são parâmetros.
Substituindo os valores que temos:
(x, y, z) = (0, 0, 0) + s cdot (1, -1, 0) + t cdot (0, 1, -1)

Passo 3

Agora vamos simplificar isso. Fazendo a soma:
  • Para x: x = 1s + 0t = s
  • Para y: y = -1s + 1t = -s + t
  • Para z: z = 0s - 1t = -t
Assim, conseguimos expressar o plano em forma paramétrica. Juntando tudo, temos a representação parametrizada do plano:
(x, y, z) = (s, -s + t, -t)
onde s e t são os parâmetros.

Resposta

A representação parametrizada do plano é dada por (x, y, z) = (s, -s + t, -t), onde s e t são parâmetros.

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