Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial . O conteúdo que estamos trabalhando aqui é cálculo vetorial, que envolve operações como rotacional e divergente. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar as definições dessas duas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor . O divergente de um campo vetorial em coordenadas cartesianas é dado pela fórmula:
Aqui, , e . Agora vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Então, juntando tudo isso, o divergente fica:

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional do vetor . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. Para o primeiro componente:
    • $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = 0 $
    • $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = -\frac{y}{z^2} $
      Então o primeiro componente é:
  2. Para o segundo componente:
    • $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = 0 $
    • $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = -\frac{z}{x^2} $
      Então o segundo componente é:
  3. Para o terceiro componente:
    • $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = 0 $
    • $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} $
      Então o terceiro componente é:
Agora, organizando tudo, o rotacional fica:

Resposta

Portanto, o divergente de é e o rotacional de é .

Exercícios relacionados

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
A temperatura em um ponto é dada por
onde é medido em metros.
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em ?
Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores e .
Resolva a equação diferencial.