Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d) F(x, y, z)=(xy, yz, zx)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x, y, z)=(xy, yz, zx). O conteúdo que estamos trabalhando aqui é cálculo vetorial, que envolve operações como rotacional e divergente. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar as definições dessas duas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor F. O divergente de um campo vetorial F = (F1, F2, F3) em coordenadas cartesianas é dado pela fórmula:
nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Aqui, F1 = xy, F2 = yz e F3 = zx. Agora vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Para F1 = xy:
    partial F1partial x = 1y
  2. Para F2 = yz:
    partial F2partial y = 1z
  3. Para F3 = zx:
    partial F3partial z = 1x
Então, juntando tudo isso, o divergente fica:
nabla cdot F = 1y + 1z + 1x

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional do vetor F. O rotacional de um campo vetorial F = (F1, F2, F3) é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. Para o primeiro componente:
    • $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = 0 $
    • $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = -\frac{y}{z^2} $
      Então o primeiro componente é:
    partial F3partial y = 0
  2. Para o segundo componente:
    • $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = 0 $
    • $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = -\frac{z}{x^2} $
      Então o segundo componente é:
    partial F2partial z = -yz^2
  3. Para o terceiro componente:
    • $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = 0 $
    • $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} $
      Então o terceiro componente é:
    partial F3partial y - partial F2partial z = 0 + yz^2 = yz^2
Agora, organizando tudo, o rotacional fica:
partial F1partial z = 0

Resposta

Portanto, o divergente de F é nabla cdot F = 1y + 1z + 1x e o rotacional de F é nabla times F = ( yz^2, zx^2, xy^2 ).

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