Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é cálculo vetorial, que envolve operações como rotacional e divergente. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar as definições dessas duas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor
. O divergente de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dado pela fórmula:
Aqui,
,
e
. Agora vamos calcular as derivadas parciais:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, juntando tudo isso, o divergente fica:
Passo 3
Agora vamos calcular o rotacional do vetor
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
-
Para o primeiro componente:
- $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = 0 $
- $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = -\frac{y}{z^2} $
Então o primeiro componente é:
-
Para o segundo componente:
- $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = 0 $
- $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = -\frac{z}{x^2} $
Então o segundo componente é:
-
Para o terceiro componente:
- $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = 0 $
- $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} $
Então o terceiro componente é:
Agora, organizando tudo, o rotacional fica:
Resposta
Portanto, o divergente de
é
e o rotacional de
é
.
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(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores e
.
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Resolva a equação diferencial.