Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
No nosso caso, temos:
Então, aqui
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Substituindo
:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes.
Passo 6
Aplicando integração por partes na integral
:
Seja e
, então
e
.
Seja
Aplicando a fórmula:
Temos:
Portanto:
Passo 7
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores e
.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d)
(d)
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
a) ,
a)