Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
No nosso caso, temos:
Então, aqui e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Substituindo :
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes.

Passo 6

Aplicando integração por partes na integral :
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula:
Temos:
Portanto:

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores e .
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d)
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
a) ,