Resolva a equação diferencial.
y^prime=x+5 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, temos:
y' - 5y = x
Então, aqui e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo mu(x) = e^integral -5 , dx = e^-5x :
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-5xy' - 5e^-5xy = xe^-5x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Então, podemos escrever:
ddx(e^-5xy) = xe^-5x
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a integral ddx(e^-5xy) , dx = integral xe^-5x , dx :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes.

Passo 6

Aplicando integração por partes na integral integral u , dv = uv - integral v , du :
Seja integral xe^-5x , dx = -15xe^-5x + 15integral e^-5x , dx = -15xe^-5x - 125e^-5x + C e e^-5xy = -15xe^-5x - 125e^-5x + C , então e .
Aplicando a fórmula:
Temos:
Portanto:

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados por y = -15x - 125 + Ce^5x para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -15x - 125 + Ce^5x
onde é uma constante arbitrária.

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