Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a taxa de variação máxima de uma função
no ponto
e também a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima variação.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, as variáveis são
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente de
é:
Passo 6
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
A taxa de variação máxima da função no ponto dado é o comprimento (norma) do vetor gradiente nesse ponto. Calculamos a norma do vetor
:
Passo 8
A direção em que essa taxa máxima ocorre é a direção do vetor gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário, dividimos o vetor gradiente pela sua norma:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é
e ocorre na direção do vetor
.