Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a taxa de variação máxima de uma função no ponto e também a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, as variáveis são e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente de é:

Passo 6

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 7

A taxa de variação máxima da função no ponto dado é o comprimento (norma) do vetor gradiente nesse ponto. Calculamos a norma do vetor :

Passo 8

A direção em que essa taxa máxima ocorre é a direção do vetor gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário, dividimos o vetor gradiente pela sua norma:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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