Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f(s, t)=t e^s t, (0,2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a taxa de variação máxima de uma função no ponto e também a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, as variáveis são e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial s = partialpartial s (t e^s t) = t^2 e^s t em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de partial fpartial t = partialpartial t (t e^s t) = e^s t + s t e^s t = e^s t(1 + s t) em relação a :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente de nabla f(s, t) = ( t^2 e^s t,, e^s t(1 + s t) ) é:

Passo 6

Vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(0, 2) = ( 2^2 e^0 cdot 2,, e^0 cdot 2(1 + 0 cdot 2) ) = ( 4 cdot 1,, 1 cdot 1 ) = (4, 1) :

Passo 7

A taxa de variação máxima da função no ponto dado é o comprimento (norma) do vetor gradiente nesse ponto. Calculamos a norma do vetor |nabla f(0, 2)| = raiz4^2 + 1^2 = raiz16 + 1 = raiz17 :

Passo 8

A direção em que essa taxa máxima ocorre é a direção do vetor gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário, dividimos o vetor gradiente pela sua norma:
Direção = nabla f(0, 2)|nabla f(0, 2)| = (4, 1)raiz17 = ( 4raiz17, 1raiz17 ) çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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