Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
. Queremos encontrar os valores de
para os quais a solução da equação tem a forma
. Para isso, vamos precisar substituir essa forma na equação e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. Precisamos da primeira e da segunda derivada para substituir na equação diferencial.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Passo 4
Calculando a segunda derivada de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 6
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, a equação fica:
Passo 7
Resolvendo a equação
:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são
e
.