Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y(t)=e^r t
y^prime prime-y=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . Queremos encontrar os valores de para os quais a solução da equação tem a forma . Para isso, vamos precisar substituir essa forma na equação e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . Precisamos da primeira e da segunda derivada para substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de y'(t) = r e^rt :

Passo 4

Calculando a segunda derivada de y''(t) = r^2 e^rt :

Passo 5

Agora, substituímos r^2 e^rt - e^rt = 0 e na equação diferencial original:

Passo 6

Podemos fatorar e^rt (r^2 - 1) = 0 da equação:
r^2 - 1 = 0
Como nunca é zero, a equação fica:

Passo 7

Resolvendo a equação r^2 = 1 :
r = pm 1

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são e .

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