Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
c) f(x) = e^(-x) - e^(-3 x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre representar a função para usando integrais que envolvem cosseno e seno. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Fourier ou Representações Integrais. Para isso, vamos precisar entender como expressar funções exponenciais como integrais envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula básica que relaciona funções exponenciais com integrais de cosseno e seno. Sabemos que:
Mas para associar com cosseno e seno, usamos as propriedades das transformadas integrais. Uma representação comum é utilizar a seguinte identidade:
No entanto, para envolver cosseno e seno, precisamos ajustar essa ideia.

Passo 3

Vamos considerar as transformadas de Fourier para representar cada termo da função .
A transformada de Fourier para é dada por:
Podemos separar isso em partes real e imaginária usando identidades trigonométricas:
A parte real está relacionada ao cosseno e a parte imaginária ao seno.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função , temos que representar cada termo separadamente.
Para :
E para :

Passo 5

Subtraindo as duas representações, obtemos a representação da função :

Passo 6

Agora, para a representação usando integrais de seno, seguimos uma abordagem similar. Considerando que a parte imaginária está associada ao seno:

Resposta

As representações da função para são:
e

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