Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre representar a função
para
usando integrais que envolvem cosseno e seno. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Fourier ou Representações Integrais. Para isso, vamos precisar entender como expressar funções exponenciais como integrais envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma fórmula básica que relaciona funções exponenciais com integrais de cosseno e seno. Sabemos que:
Mas para associar com cosseno e seno, usamos as propriedades das transformadas integrais. Uma representação comum é utilizar a seguinte identidade:
No entanto, para envolver cosseno e seno, precisamos ajustar essa ideia.
Passo 3
Vamos considerar as transformadas de Fourier para representar cada termo da função
.
A transformada de Fourier para
é dada por:
Podemos separar isso em partes real e imaginária usando identidades trigonométricas:
A parte real está relacionada ao cosseno e a parte imaginária ao seno.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função
, temos que representar cada termo separadamente.
Para
:
E para
:
Passo 5
Subtraindo as duas representações, obtemos a representação da função
:
Passo 6
Agora, para a representação usando integrais de seno, seguimos uma abordagem similar. Considerando que a parte imaginária está associada ao seno:
Resposta
As representações da função
para
são:
e