b) Mostre que
.
Sugestão: Considere
.
Sugestão: Considere
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que a integral definida de 0 até infinito de
é igual a
. Vamos precisar usar técnicas de cálculo integral, especialmente lidando com funções trigonométricas e integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos utilizar fórmulas de produtos de cossenos e senos para simplificar os termos. Sabemos que:
e
Aplicando isso aos termos da integral:
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Simplificando:
Passo 5
As integrais que resultaram podem ser resolvidas usando técnicas de integração por partes ou conhecendo integrais padrão de funções trigonométricas divididas por potências de
. Após resolver essas integrais, aplicamos os limites de 0 a infinito.
Passo 6
Após calcular ambas as integrais, combinamos os resultados e simplificamos. O processo envolve o uso de identidades trigonométricas adicionais e a aplicação de limites, resultando na expressão final da integral.
Resposta
A integral vale
.