Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas maneiras de representar a função
(onde
e
) usando integrais que envolvem o cosseno e o seno. Basicamente, queremos escrever essa função como uma integral que tem cosseno e outra que tem seno. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformada de Fourier. Ela permite que a gente escreva uma função
como uma superposição (soma contínua) de ondas senoidais e cossenoidais de diferentes frequências. Existem duas versões principais: a transformada de Fourier de cosseno e a de seno. Vamos usar essas ideias para expressar
da maneira que o exercício pede.
Passo 3
Vamos começar com a representação usando o cosseno. A fórmula geral para a transformada de Fourier de cosseno de uma função
é:
onde
é a transformada de Fourier de cosseno de
. Para encontrar
, usamos a seguinte expressão:
Passo 4
Substituindo
na fórmula de
:
Essa integral é conhecida e seu valor é:
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão da transformada de Fourier de cosseno:
Essa é a representação da função
como uma integral de cosseno.
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para a representação usando o seno. A transformada de Fourier de seno é dada por:
onde
é a transformada de Fourier de seno de
. A expressão para
é:
Passo 7
Substituindo
na fórmula de
:
Essa integral também é conhecida e seu valor é:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na expressão da transformada de Fourier de seno:
Essa é a representação da função
como uma integral de seno.
Resposta
A função
pode ser representada das seguintes formas:
- Integral de Cosseno:
- Integral de Seno: