Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
a) f(x) = e^(-k x), k > 0, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas maneiras de representar a função (onde e ) usando integrais que envolvem o cosseno e o seno. Basicamente, queremos escrever essa função como uma integral que tem cosseno e outra que tem seno. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformada de Fourier. Ela permite que a gente escreva uma função como uma superposição (soma contínua) de ondas senoidais e cossenoidais de diferentes frequências. Existem duas versões principais: a transformada de Fourier de cosseno e a de seno. Vamos usar essas ideias para expressar da maneira que o exercício pede.

Passo 3

Vamos começar com a representação usando o cosseno. A fórmula geral para a transformada de Fourier de cosseno de uma função é:
onde é a transformada de Fourier de cosseno de . Para encontrar , usamos a seguinte expressão:

Passo 4

Substituindo na fórmula de :
Essa integral é conhecida e seu valor é:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da transformada de Fourier de cosseno:
Essa é a representação da função como uma integral de cosseno.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a representação usando o seno. A transformada de Fourier de seno é dada por:
onde é a transformada de Fourier de seno de . A expressão para é:

Passo 7

Substituindo na fórmula de :
Essa integral também é conhecida e seu valor é:

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão da transformada de Fourier de seno:
Essa é a representação da função como uma integral de seno.

Resposta

A função pode ser representada das seguintes formas:
  1. Integral de Cosseno:
  1. Integral de Seno:

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