Resolva a equação integral dada em relação à função f.
b) integral0^infty f(x) sen(alpha x) d x=rr1, & se 01

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa equação integral onde queremos encontrar a função . O enunciado nos dá a integral de multiplicada por de 0 até o infinito, e diz que o resultado é 1 quando e 0 quando . Para resolver isso, vamos usar a teoria de transformadas de Fourier, especificamente a transformada de seno, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma transformada de seno da função integral0^infty f(x) sin(alpha x) , dx = g(alpha) . A transformada de seno de uma função é definida como:
No nosso caso, é igual a 1 para e 0 para .

Passo 3

Para encontrar f(x) = 2pi integral0^infty g(alpha) sin(alpha x) , dalpha , precisamos usar a transformada inversa de seno. A fórmula da transformada inversa de seno é:
f(x) = 2pi integral0^1 sin(alpha x) , dalpha
Substituindo pelo que foi dado no enunciado, a integral fica:
Isso porque para , então só precisamos integrar de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral0^1 sin(alpha x) , dalpha
Para integrar integral0^1 sin(alpha x) , dalpha = 1x integral0^x sin(u) , du = 1x [ -cos(u) ]0^x = 1x ( -cos(x) + 1 ) em relação a , fazemos a substituição , então , ou seja, :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de f(x) = 2pi cdot 1 - cos(x)x = 2(1 - cos(x))pi x :
f(x) = 2pi x (1 - cos(x))
Simplificando, temos:

Resposta

f(x) = 2pi x (1 - cos(x))

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