Resolva a equação integral dada em relação à função $f$. b) $\int_{0}^{\infty} f(x) \operatorname{sen}(\alpha x) d x=\left\{\begin{array}{rr}1, & \text { se } 0<\alpha<1 \\ 0, & \text { se } \alpha>1\end{array}\right.$
Passo 1
Opa! Vamos resolver essa equação integral onde queremos encontrar a função
. O enunciado nos dá a integral de
multiplicada por
de 0 até o infinito, e diz que o resultado é 1 quando
e 0 quando
. Para resolver isso, vamos usar a teoria de transformadas de Fourier, especificamente a transformada de seno, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma transformada de seno da função
. A transformada de seno de uma função
é definida como:
No nosso caso,
é igual a 1 para
e 0 para
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos usar a transformada inversa de seno. A fórmula da transformada inversa de seno é:
Substituindo
pelo que foi dado no enunciado, a integral fica:
Isso porque
para
, então só precisamos integrar de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Para integrar
em relação a
, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando, temos:
Resposta
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<html><head></head><body><div>Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.<br>
f) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.901ex” height=“2.586ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -893 5702.3 1143”><title>f(x) = x * e^(-|x|)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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f) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.901ex” height=“2.586ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -893 5702.3 1143”><title>f(x) = x * e^(-|x|)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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<html><head></head><body><div>Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.<br>
d) <span class=“math-inline “>
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597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.<br>
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<html><head></head><body><div>Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.<br>
c) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.396ex” height=“2.451ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.2 11667 1083.2”><title>f(x) = e^(-x) - e^(-3 x), x > 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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