Resolva a equação integral dada em relação à função
.
b)
b)
Passo 1
Opa! Vamos resolver essa equação integral onde queremos encontrar a função
. O enunciado nos dá a integral de
multiplicada por
de 0 até o infinito, e diz que o resultado é 1 quando
e 0 quando
. Para resolver isso, vamos usar a teoria de transformadas de Fourier, especificamente a transformada de seno, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma transformada de seno da função
. A transformada de seno de uma função
é definida como:
No nosso caso,
é igual a 1 para
e 0 para
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos usar a transformada inversa de seno. A fórmula da transformada inversa de seno é:
Substituindo
pelo que foi dado no enunciado, a integral fica:
Isso porque
para
, então só precisamos integrar de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Para integrar
em relação a
, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando, temos: