Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é representar a função
usando uma integral que envolva funções seno ou cosseno. Isso faz parte do estudo de transformadas de Fourier, que ajudam a decompor funções em combinações de ondas senoidais e cossenoidais. Vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar para escolher entre seno ou cosseno na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
.
Calculando:
Então,
, o que significa que a função é ímpar.
Passo 3
Como a função é ímpar, a representação dela será feita usando uma integral de seno. A transformada de Fourier para funções ímpares envolve senos porque os senos também são funções ímpares, o que facilita a decomposição.
Passo 4
A transformada de Fourier de uma função ímpar
é dada por:
onde
é a transformada de Fourier da função
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Fourier
para
. A fórmula para
é:
Mas como
é ímpar, podemos simplificar para:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na representação da transformada de Fourier:
Resposta
A função
pode ser representada pela integral de seno: