Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
f) f(x) = x * e^(-|x|)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é representar a função usando uma integral que envolva funções seno ou cosseno. Isso faz parte do estudo de transformadas de Fourier, que ajudam a decompor funções em combinações de ondas senoidais e cossenoidais. Vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar para escolher entre seno ou cosseno na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se .
Calculando:
Então, , o que significa que a função é ímpar.

Passo 3

Como a função é ímpar, a representação dela será feita usando uma integral de seno. A transformada de Fourier para funções ímpares envolve senos porque os senos também são funções ímpares, o que facilita a decomposição.

Passo 4

A transformada de Fourier de uma função ímpar é dada por:
onde é a transformada de Fourier da função .

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier para . A fórmula para é:
Mas como é ímpar, podemos simplificar para:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais:
Portanto:

Passo 7

Finalmente, substituímos na representação da transformada de Fourier:

Resposta

A função pode ser representada pela integral de seno:

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