Determine e represente geometricamente as curvas de nível de
nos níveis
e
.
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício que pede para determinar e representar geometricamente as curvas de nível da função
nos níveis
,
e
. Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e gráficos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como identificá-las a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
no plano que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Basicamente, é onde a função tem o mesmo valor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso para cada nível dado:
-
Para
: A única solução que satisfaz essa equação ée . Então, a curva de nível para é apenas o ponto . -
Para
: Podemos reescrever essa equação na forma padrão de uma elipse dividindo todos os termos por 1:Isso mostra que é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 ao longo do eixoe ao longo do eixo . -
Para
: Dividindo todos os termos por 4, temos:Novamente, é uma elipse centrada na origem, mas agora com semi-eixos de comprimento 2 ao longo do eixoe 1 ao longo do eixo .
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: O ponto . - Para
: Uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 1 no e no . - Para
: Uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 2 no e 1 no .