Determine e represente geometricamente as curvas de nível de f(x, y) = x^2 + 4y^2 nos níveis c = 0, c = 1 e c = 4.

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede para determinar e representar geometricamente as curvas de nível da função nos níveis , e . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e gráficos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como identificá-las a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos no plano que satisfazem a equação , onde é uma constante. Basicamente, é onde a função tem o mesmo valor .

Passo 3

Vamos aplicar isso para cada nível dado:
  1. Para :
    A única solução que satisfaz essa equação é e . Então, a curva de nível para é apenas o ponto .
  2. Para :
    Podemos reescrever essa equação na forma padrão de uma elipse dividindo todos os termos por 1:
    Isso mostra que é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 ao longo do eixo e ao longo do eixo .
  3. Para :
    Dividindo todos os termos por 4, temos:
    Novamente, é uma elipse centrada na origem, mas agora com semi-eixos de comprimento 2 ao longo do eixo e 1 ao longo do eixo .

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para : O ponto .
  • Para : Uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 1 no e no .
  • Para : Uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 2 no e 1 no .

Exercícios relacionados