Mostre que, em coordenadas polares, as fórmulas para o centroide
de uma região
são
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar como calcular o centroide
de uma região
usando coordenadas polares. Basicamente, a gente vai precisar entender como transformar as fórmulas do centroide, que geralmente usamos em coordenadas cartesianas, para o sistema polar. Para isso, vamos precisar saber sobre integração dupla em coordenadas polares e como expressar
e
nessa linguagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o centroide. O centroide é o “centro de massa” de uma região, onde a média das coordenadas ponderadas pela área dá esse ponto. Em coordenadas cartesianas, as fórmulas para
e
são:
Nossa missão é converter essas integrais para coordenadas polares.
Passo 3
Em coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância ao ponto e
é o ângulo com o eixo
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é igual a
.
Então, substituindo
e
por suas expressões polares:
E a área diferencial:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões nas fórmulas do centroide:
Para
:
Para
:
Resposta
Assim, mostramos que, em coordenadas polares, as fórmulas para o centroide
de uma região
são: