Mostre que, em coordenadas polares, as fórmulas para o centroide (barx, bary) de uma região R são
l barx=1 área de R integral duplaR r^2 cos theta d r d theta bary=1 área de R integral duplaR r^2 sen theta d r d theta áá

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar como calcular o centroide de uma região usando coordenadas polares. Basicamente, a gente vai precisar entender como transformar as fórmulas do centroide, que geralmente usamos em coordenadas cartesianas, para o sistema polar. Para isso, vamos precisar saber sobre integração dupla em coordenadas polares e como expressar e nessa linguagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centroide. O centroide é o “centro de massa” de uma região, onde a média das coordenadas ponderadas pela área dá esse ponto. Em coordenadas cartesianas, as fórmulas para barx = 1Área de R integral duplaR x , dA e bary = 1Área de R integral duplaR y , dA são:
Á
Á
Nossa missão é converter essas integrais para coordenadas polares.

Passo 3

Em coordenadas polares, qualquer ponto x = r cos theta pode ser representado como y = r sin theta , onde dA = r , dr , dtheta é a distância ao ponto e é o ângulo com o eixo . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é igual a .
Então, substituindo e por suas expressões polares:
E a área diferencial:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões nas fórmulas do centroide:
Para barx = 1Área de R integral duplaR x , dA = 1Área de R integral duplaR r cos theta cdot r , dr , dtheta = 1Área de R integral duplaR r^2 cos theta , dr , dtheta :
bary = 1Área de R integral duplaR y , dA = 1Área de R integral duplaR r sin theta cdot r , dr , dtheta = 1Área de R integral duplaR r^2 sin theta , dr , dtheta ÁÁÁ
Para :
ÁÁÁ

Resposta

Assim, mostramos que, em coordenadas polares, as fórmulas para o centroide l barx=1Área de R integral duplaR r^2 cos theta , dr , dtheta bary=1Área de R integral duplaR r^2 sin theta , dr , dtheta de uma região são:
ÁÁ

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