Seja f(x, y)=x^2 y+2 x+y^3. Calcule a derivada parcial partial fpartial x(x, y), utilizando a definição (via limite).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a função e precisamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(x, y) = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h em relação a mede como a função muda quando apenas varia, mantendo constante. A definição matemática dessa derivada é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(x + h, y) = (x + h)^2 y + 2(x + h) + y^3 . Primeiro, calculamos (x + h)^2 y = (x^2 + 2xh + h^2) y = x^2 y + 2x h y + h^2 y :
2(x + h) = 2x + 2h
Vamos expandir isso:
f(x + h, y) = x^2 y + 2x h y + h^2 y + 2x + 2h + y^3
E
Portanto,

Passo 4

Subtraímos f(x + h, y) - f(x, y) = (x^2 y + 2x h y + h^2 y + 2x + 2h + y^3) - (x^2 y + 2x + y^3) = 2x h y + h^2 y + 2h de :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na definição do limite:
partial fpartial x(x, y) = limh to 0 2x h y + h^2 y + 2hh
Podemos simplificar dividindo cada termo por partial fpartial x(x, y) = limh to 0 (2x y + h y + 2) :

Passo 6

Finalmente, aplicamos o limite quando partial fpartial x(x, y) = 2x y + 0 + 2 = 2x y + 2 tende a 0:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é .

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