Seja z = x^2 y, calcule:
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação Delta z em z, quando se passa de x=1, y=2 para x = 1,02 e y = 2,01

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos calcular a variação aproximada quando muda de 1 para 1,02 e muda de 2 para 2,01. Para isso, vamos usar a diferencial, que nos ajuda a estimar mudanças pequenas em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferencial de , denotada por , pode ser calculada usando as derivadas parciais de em relação a e a . A fórmula da diferencial é:
Aqui, e são as variações nas variáveis e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos os valores de e nos momentos iniciais ( e ) nas derivadas parciais:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora identificamos as variações e :

Passo 6

Substituímos tudo na fórmula da diferencial:

Passo 7

Calculamos os produtos:

Resposta

A variação aproximada é de 0,09.

Exercícios relacionados

Seja z = x^2 y, calcule:
(a) Calcule a diferencial
Utilize d z para aproximar a variação Delta z da função f: R^2 -> R, f(x, y) = x^2 ln(y), quando se passa do ponto 3,1 para (2,99) ; (1,04).
Resolva, pelo método dos coeficientes a determinar, o problema de valor inicial:
2 y'' + 4 y' + 2 y = 5 e^(-x) ; y(0) = -1 ; y'(0) = 0
Determine e represente graficamente o domínio da função:
f(x, y) = ln(x - 2) / (1 - x^2 - y^2)