Resolva, pelo método dos coeficientes a determinar, o problema de valor inicial:
2 y'' + 4 y' + 2 y = 5 e^(-x) ; y(0) = -1 ; y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes a determinar. A equação dada é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e sobre o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução particular quando o lado direito da equação é uma função específica, como neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (o lado direito):
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pelo método de fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , e nossa solução homogênea já inclui termos de , precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicidade. Assim, assumimos:
Onde é a constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Então, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Então, .

Passo 12

Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, substituímos :

Passo 13

Com e , a solução final fica:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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