Resolva, pelo método dos coeficientes a determinar, o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes a determinar. A equação dada é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e sobre o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução particular quando o lado direito da equação é uma função específica, como neste caso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (o lado direito):
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pelo método de fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , e nossa solução homogênea já inclui termos de , precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicidade. Assim, assumimos:
Onde é a constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para :
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .