Determine a resposta de um acelerômetro utilizado para medir o deslocamento de MEMS. Considere que o acelerômetro é um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com velocidade inicial de
e um deslocamento inicial igual a 0 m . O acelerômetro apresenta uma massa equivalente
, uma rigidez equivalente
e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de
. Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema
na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um acelerômetro de MEMS que funciona como um sistema de um grau de liberdade, ou seja, ele vibra de maneira simples. Precisamos determinar a resposta desse sistema considerando alguns parâmetros como massa, rigidez e amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender de física de sistemas vibratórios, especialmente sobre equações diferenciais que descrevem vibrações, frequência natural, amortecimento e como isso tudo afeta o deslocamento ao longo do tempo.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar a equação diferencial homogênea do sistema.
Um sistema de um grau de liberdade com massa
, rigidez
e amortecimento viscoso
é descrito pela seguinte equação diferencial:
Essa é a equação diferencial homogênea porque não tem um termo externo forçando o sistema; ela só descreve como o sistema vibra naturalmente.
Passo 3
Agora, na parte b), vamos calcular três coisas importantes: a frequência natural (
), o fator de amortecimento viscoso (
) e a frequência natural amortecida (
).
Primeiro, a frequência natural é calculada pela fórmula:
Substituindo os valores dados:
Depois, o fator de amortecimento viscoso é:
Calculando:
Por fim, a frequência natural amortecida é:
Substituindo:
Passo 4
Agora vamos para a parte c), onde precisamos encontrar a equação da resposta do sistema
na forma senoidal e a amplitude de vibração quando
.
A solução geral para a equação diferencial homogênea, que descreve vibrações amortecidas, é:
Como as condições iniciais são deslocamento inicial
e velocidade inicial
, podemos determinar as constantes
e
.
Aplicando
:
Aplicando
:
Em
:
Logo,
Então, a equação da resposta fica:
Para encontrar a amplitude em
:
Resposta
A amplitude de vibração do acelerômetro quando
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Uma barra longa de aço foi furada em dois pontos, e a barra foi submetida à força axial
. Determinar o maior valor da tensão: a) no ponto
) no ponto
.
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, b)
, sabendo que elas têm seção transversal uniforme retangular de
.
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de
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, e para a alça e os cabos
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