Determine a resposta de um acelerômetro utilizado para medir o deslocamento de MEMS. Considere que o acelerômetro é um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com velocidade inicial de e um deslocamento inicial igual a 0 m . O acelerômetro apresenta uma massa equivalente , uma rigidez equivalente e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de . Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um acelerômetro de MEMS que funciona como um sistema de um grau de liberdade, ou seja, ele vibra de maneira simples. Precisamos determinar a resposta desse sistema considerando alguns parâmetros como massa, rigidez e amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender de física de sistemas vibratórios, especialmente sobre equações diferenciais que descrevem vibrações, frequência natural, amortecimento e como isso tudo afeta o deslocamento ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar a equação diferencial homogênea do sistema.
Um sistema de um grau de liberdade com massa , rigidez e amortecimento viscoso é descrito pela seguinte equação diferencial:
Essa é a equação diferencial homogênea porque não tem um termo externo forçando o sistema; ela só descreve como o sistema vibra naturalmente.

Passo 3

Agora, na parte b), vamos calcular três coisas importantes: a frequência natural ( ), o fator de amortecimento viscoso ( ) e a frequência natural amortecida ( ).
Primeiro, a frequência natural é calculada pela fórmula:
Substituindo os valores dados:
Depois, o fator de amortecimento viscoso é:
Calculando:
Por fim, a frequência natural amortecida é:
Substituindo:

Passo 4

Agora vamos para a parte c), onde precisamos encontrar a equação da resposta do sistema na forma senoidal e a amplitude de vibração quando .
A solução geral para a equação diferencial homogênea, que descreve vibrações amortecidas, é:
Como as condições iniciais são deslocamento inicial e velocidade inicial , podemos determinar as constantes e .
Aplicando :
Aplicando :
Em :
Logo,
Então, a equação da resposta fica:
Para encontrar a amplitude em :

Resposta

A amplitude de vibração do acelerômetro quando é aproximadamente .

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