Determine a resposta de um acelerômetro utilizado para medir o deslocamento de MEMS. Considere que o acelerômetro é um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com velocidade inicial de 30 m / s e um deslocamento inicial igual a 0 m . O acelerômetro apresenta uma massa equivalente me q=4,6 cdot 10^-12 kg, uma rigidez equivalente ke q=0,380 N / m e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de ce q=4,93 cdot 10^-7 N s / m. Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema x(t) na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando t=1 mu s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um acelerômetro de MEMS que funciona como um sistema de um grau de liberdade, ou seja, ele vibra de maneira simples. Precisamos determinar a resposta desse sistema considerando alguns parâmetros como massa, rigidez e amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar entender de física de sistemas vibratórios, especialmente sobre equações diferenciais que descrevem vibrações, frequência natural, amortecimento e como isso tudo afeta o deslocamento ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar a equação diferencial homogênea do sistema.
Um sistema de um grau de liberdade com massa meq cdot d^2x(t)dt^2 + ceq cdot dx(t)dt + keq cdot x(t) = 0 , rigidez e amortecimento viscoso é descrito pela seguinte equação diferencial:
Essa é a equação diferencial homogênea porque não tem um termo externo forçando o sistema; ela só descreve como o sistema vibra naturalmente.

Passo 3

Agora, na parte b), vamos calcular três coisas importantes: a frequência natural ( omegan = raizkeqmeq ), o fator de amortecimento viscoso ( omegan = raiz0,3804,6 times 10^-12 approx raiz8,26 times 10^10 approx 9,09 times 10^5 , rad/s ) e a frequência natural amortecida ( zeta = ceq2 raizkeq cdot meq ).
Primeiro, a frequência natural é calculada pela fórmula:
zeta = 4,93 times 10^-72 raiz0,380 times 4,6 times 10^-12 approx 4,93 times 10^-72 times 4,21 times 10^-6 approx 0,0585
Substituindo os valores dados:
omegad = omegan raiz1 - zeta^2
Depois, o fator de amortecimento viscoso é:
Calculando:
omegad = 9,09 times 10^5 raiz1 - (0,0585)^2 approx 9,09 times 10^5 times 0,9983 approx 9,08 times 10^5 , rad/s
Por fim, a frequência natural amortecida é:
Substituindo:

Passo 4

Agora vamos para a parte c), onde precisamos encontrar a equação da resposta do sistema x(t) = A cdot e^-zeta omegan t cdot cos(omegad t) + B cdot e^-zeta omegan t cdot sin(omegad t) na forma senoidal e a amplitude de vibração quando 0 = A cdot 1 cdot cos(0) + B cdot 1 cdot sin(0) Rightarrow A = 0 .
A solução geral para a equação diferencial homogênea, que descreve vibrações amortecidas, é:
v(t) = dx(t)dt = -A zeta omegan e^-zeta omegan t cos(omegad t) - A omegad e^-zeta omegan t sin(omegad t) + B (-zeta omegan e^-zeta omegan t sin(omegad t) + omegad e^-zeta omegan t cos(omegad t))
Como as condições iniciais são deslocamento inicial 30 = B omegad e velocidade inicial B = 30omegad approx 309,08 times 10^5 approx 3,30 times 10^-5 , m , podemos determinar as constantes x(t) = 3,30 times 10^-5 cdot e^-0,0585 times 9,09 times 10^5 times t cdot sin(9,08 times 10^5 , t) e A(t) = 3,30 times 10^-5 cdot e^-0,0585 times 9,09 times 10^5 times 1 times 10^-6 approx 3,30 times 10^-5 cdot e^-0,0532 approx 3,30 times 10^-5 times 0,948 approx 3,13 times 10^-5 , m .
Aplicando :
Aplicando :
Em :
Logo,
Então, a equação da resposta fica:
Para encontrar a amplitude em :

Resposta

A amplitude de vibração do acelerômetro quando é aproximadamente .

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