Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de
. O amortecedor possui uma constante de amortecimento viscoso que equivale a
da constante de amortecimento crítico. A partir destas informações, determine: a) o fator de amortecimento; b) A constante de amortecimento crítico do sistema; c) a frequência natural amortecida; d) o decremento logarítmico; e) a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas vibrantes! O problema fala de um sistema composto por uma massa, uma mola e um amortecedor. Tem uma massa de 60 kg, uma rigidez de
e um amortecedor com uma constante de amortecimento que é 30% da constante de amortecimento crítico. Vamos precisar de conceitos de dinâmica vibratória, como fator de amortecimento, constante de amortecimento crítico, frequência natural amortecida, decremento logarítmico e a razão entre amplitudes consecutivas. Vamos resolver passo a passo as questões de a) até e).
Passo 2
a) Determinar o fator de amortecimento.
Primeiro, vamos entender o que é o fator de amortecimento, também conhecido como razão de amortecimento (
). Ele indica se o sistema está subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. A razão é dada por:
Onde:
-
é a constante de amortecimento do sistema. -
é a constante de amortecimento crítico.
No enunciado, já sabemos que
(30% da constante crítica), então:
Passo 3
b) Determinar a constante de amortecimento crítico do sistema.
A constante de amortecimento crítico (
) é a mínima constante de amortecimento que traz o sistema ao equilíbrio sem oscilar. Ela é calculada por:
Mas atenção! A rigidez
está em N/mm, precisamos converter para N/m:
Agora, substituímos os valores:
Passo 4
c) Determinar a frequência natural amortecida.
A frequência natural amortecida (
) é a frequência com que o sistema oscila quando está amortecido. Ela é calculada por:
Primeiro, encontramos a frequência natural não amortecida (
):
Agora, calculamos
:
Passo 5
d) Determinar o decremento logarítmico.
O decremento logarítmico (
) é uma medida de quão rápido as oscilações decaem no tempo. É dado por:
Substituindo os valores:
Passo 6
e) Determinar a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.
A razão entre duas amplitudes consecutivas (
) em um sistema amortecido é dada por:
Usando o decremento logarítmico calculado:
Resposta
a) O fator de amortecimento é
.
b) A constante de amortecimento crítico do sistema é aproximadamente
.
c) A frequência natural amortecida é
.
d) O decremento logarítmico é
.
e) A razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação é aproximadamente
.
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. Determine o a amplitude do movimento
, o período de oscilação
e a máxima aceleração
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.
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e
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.
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, uma rigidez equivalente
e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de
. Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema
na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando
.