Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de 35 N / mm. O amortecedor possui uma constante de amortecimento viscoso que equivale a 30 % da constante de amortecimento crítico. A partir destas informações, determine: a) o fator de amortecimento; b) A constante de amortecimento crítico do sistema; c) a frequência natural amortecida; d) o decremento logarítmico; e) a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas vibrantes! O problema fala de um sistema composto por uma massa, uma mola e um amortecedor. Tem uma massa de 60 kg, uma rigidez de e um amortecedor com uma constante de amortecimento que é 30% da constante de amortecimento crítico. Vamos precisar de conceitos de dinâmica vibratória, como fator de amortecimento, constante de amortecimento crítico, frequência natural amortecida, decremento logarítmico e a razão entre amplitudes consecutivas. Vamos resolver passo a passo as questões de a) até e).

Passo 2

a) Determinar o fator de amortecimento.
Primeiro, vamos entender o que é o fator de amortecimento, também conhecido como razão de amortecimento ( zeta = ccc ). Ele indica se o sistema está subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. A razão é dada por:
zeta = 0,3
Onde:
  • é a constante de amortecimento do sistema.
  • é a constante de amortecimento crítico.
No enunciado, já sabemos que (30% da constante crítica), então:

Passo 3

b) Determinar a constante de amortecimento crítico do sistema.
A constante de amortecimento crítico ( cc = 2 raizm k ) é a mínima constante de amortecimento que traz o sistema ao equilíbrio sem oscilar. Ela é calculada por:
k = 35 , N/mm = 35 times 10^3 , N/m
Mas atenção! A rigidez cc = 2 raiz60 , kg times 35 times 10^3 , N/m = 2 raiz2.100.000 approx 2 times 1450 approx 2900 , kg/s está em N/mm, precisamos converter para N/m:
Agora, substituímos os valores:

Passo 4

c) Determinar a frequência natural amortecida.
A frequência natural amortecida ( omegad = omegan raiz1 - zeta^2 ) é a frequência com que o sistema oscila quando está amortecido. Ela é calculada por:
omegan = raizkm = raiz35 times 10^3 , N/m60 , kg = raiz5833 approx 24.16 , rad/s
Primeiro, encontramos a frequência natural não amortecida ( omegad = 24.16 , rad/s times raiz1 - 0,3^2 = 24.16 times raiz0,91 approx 24.16 times 0,954 approx 23.04 , rad/s ):
Agora, calculamos :

Passo 5

d) Determinar o decremento logarítmico.
O decremento logarítmico ( de) é uma medida de quão rápido as oscilações decaem no tempo. É dado por:
de
Substituindo os valores:

Passo 6

e) Determinar a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.
A razão entre duas amplitudes consecutivas ( An+1An = e^-de) em um sistema amortecido é dada por:
An+1An = e^-1,973 approx 0,139
Usando o decremento logarítmico calculado:

Resposta

a) O fator de amortecimento é .
b) A constante de amortecimento crítico do sistema é aproximadamente .
c) A frequência natural amortecida é .
d) O decremento logarítmico é .
e) A razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação é aproximadamente .

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