Determine a resposta ao impulso unitário dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equações:
(D^2+2 D+1) y(t)=D x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT (Linear, Causal, Invariante no Tempo) que é descrito pela seguinte equação diferencial:
(D^2 + 2 D + 1) y(t) = D x(t)
Aqui, $ D $ representa a derivada em relação ao tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais em sistemas lineares. A Transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, tornando mais fácil encontrar a resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que, se $ \mathcal{L}{y(t)} = Y(s) $ e $ \mathcal{L}{x(t)} = X(s) $, então:
Ly(t) = Y(s)
Lx(t) = X(s)
Como estamos lidando com a resposta ao impulso unitário, assumimos que as condições iniciais são zero, ou seja, $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
L(D^2 + 2 D + 1) y(t) = LD x(t)
Substituindo pelas transformadas:
(s^2 Y(s)) + 2 (s Y(s)) + (Y(s)) = s X(s) - x(0)
Novamente, para a resposta ao impulso unitário, a entrada $ x(t) $ é o impulso de Dirac $ \delta(t) $, cuja Transformada de Laplace é 1, ou seja, $ X(s) = 1 $. E $ x(0) = 0 $ porque o impulso começa em $ t = 0 $.
Simplificando:
x(t)

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Y(s)
Podemos fatorar o denominador:
Y(s) = ss^2 + 2s + 1
Então, a expressão fica:
s^2 + 2s + 1 = (s + 1)^2

Passo 5

Para encontrar $ y(t) $, precisamos inverter a Transformada de Laplace de $ Y(s) $. Vamos decompor a fração para facilitar:
y(t)
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Y(s)
Y(s) = s + 1 - 1(s + 1)^2 = s + 1(s + 1)^2 - 1(s + 1)^2 = 1s + 1 - 1(s + 1)^2
Portanto:
L^-11s + 1 = e^-t

Resposta

A resposta ao impulso unitário do sistema é:
y(t) = e^-t (1 - t)

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