Determine a resposta ao impulso unitário dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT (Linear, Causal, Invariante no Tempo) que é descrito pela seguinte equação diferencial:
Aqui, $ D $ representa a derivada em relação ao tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais em sistemas lineares. A Transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, tornando mais fácil encontrar a resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que, se $ \mathcal{L}{y(t)} = Y(s) $ e $ \mathcal{L}{x(t)} = X(s) $, então:
Como estamos lidando com a resposta ao impulso unitário, assumimos que as condições iniciais são zero, ou seja, $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas transformadas:
Novamente, para a resposta ao impulso unitário, a entrada $ x(t) $ é o impulso de Dirac $ \delta(t) $, cuja Transformada de Laplace é 1, ou seja, $ X(s) = 1 $. E $ x(0) = 0 $ porque o impulso começa em $ t = 0 $.
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para encontrar $ y(t) $, precisamos inverter a Transformada de Laplace de $ Y(s) $. Vamos decompor a fração para facilitar:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Portanto:
Resposta
A resposta ao impulso unitário do sistema é: