Determine a resposta ao impulso unitário dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equações:
D(D+2) y(t)=(D+4) x(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT (Linear, Causal, Invariante no Tempo). A equação que descreve o sistema é:
D(D+2) y(t) = (D+4) x(t)
Aqui, $ D $ representa a operação de derivação em relação ao tempo ($ \frac{d}{dt} $). Para achar a resposta ao impulso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que, na Laplace, a derivada no tempo se transforma em multiplicação por $ s $. Então, temos:
s
E do outro lado:
D(D+2) y(t) xrightarrowL s(s + 2) Y(s)

Passo 3

Agora, nossa equação em Laplace fica:
s(s + 2) Y(s) = (s + 4) X(s)
Queremos encontrar a Função de Transferência $ H(s) $, que é $ \frac{Y(s)}{X(s)} $. Então, vamos isolar $ Y(s) $:
H(s)
Portanto, a Função de Transferência é:
Y(s)X(s)

Passo 4

Sabemos que a resposta ao impulso unitário $ h(t) $ é simplesmente a Transformada Inversa de Laplace de $ H(s) $. Então, vamos decompor $ H(s) $ em frações parciais para facilitar a inversão:
h(t)
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 2) $:
H(s)
Vamos escolher valores de $ s $ que simplificam a equação:
  1. Se $ s = 0 $:
H(s)
  1. Se $ s = -2 $:
(s + 4)s(s + 2) = As + Bs + 2
Então, nossa expansão em frações parciais é:
s(s + 2)

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
  1. Para $ \frac{2}{s} $:
2s
  1. Para $ \frac{-1}{s + 2} $:
L^-1 2s = 2 cdot 1 = 2
Juntando tudo, a resposta ao impulso unitário é:
-1s + 2

Resposta

A resposta ao impulso unitário do sistema é:
h(t) = 2 - e^-2t

Exercícios relacionados