Determine a resposta ao impulso unitário dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT (Linear, Causal, Invariante no Tempo). A equação que descreve o sistema é:
Aqui, $ D $ representa a operação de derivação em relação ao tempo ($ \frac{d}{dt} $). Para achar a resposta ao impulso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que, na Laplace, a derivada no tempo se transforma em multiplicação por $ s $. Então, temos:
E do outro lado:
Passo 3
Agora, nossa equação em Laplace fica:
Queremos encontrar a Função de Transferência $ H(s) $, que é $ \frac{Y(s)}{X(s)} $. Então, vamos isolar $ Y(s) $:
Portanto, a Função de Transferência é:
Passo 4
Sabemos que a resposta ao impulso unitário $ h(t) $ é simplesmente a Transformada Inversa de Laplace de $ H(s) $. Então, vamos decompor $ H(s) $ em frações parciais para facilitar a inversão:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 2) $:
Vamos escolher valores de $ s $ que simplificam a equação:
- Se $ s = 0 $:
- Se $ s = -2 $:
Então, nossa expansão em frações parciais é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
- Para $ \frac{2}{s} $:
- Para $ \frac{-1}{s + 2} $:
Juntando tudo, a resposta ao impulso unitário é:
Resposta
A resposta ao impulso unitário do sistema é: