Determine a resposta ao impulso unitário dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equações:
(D+2) y(t)=(3 D+5) x(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT descrito pela equação (D+2) y(t)=(3 D+5) x(t). Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Lineares de Sistemas de Tempo Invariante (LCIT). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de transformadas de Laplace e manipulação de equações no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que D representa a operação de derivada em relação ao tempo, ou seja, D y(t) = dy(t)dt. Vamos reescrever a equação dada substituindo D por s na transformada de Laplace, onde s é a variável complexa.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação (D+2) y(t) = (3D+5) x(t), temos:
(s + 2) Y(s) = (3s + 5) X(s)
Aqui, Y(s) é a transformada de y(t) e X(s) a transformada de x(t).

Passo 4

Para achar a função de transferência H(s) = Y(s)X(s), vamos isolá-la na equação:
H(s) = Y(s)X(s) = 3s + 5s + 2

Passo 5

Agora, para encontrar a resposta ao impulso unitário h(t), vamos tirar a transformada inversa de Laplace de H(s). Primeiro, podemos dividir o numerador pelo denominador:
H(s) = 3s + 5s + 2 = 3 + 5 - 6s + 2 = 3 + -1s + 2

Passo 6

Tomando a transformada inversa de cada termo separadamente:
  • A transformada inversa de 3 é 3de, onde de é a função impulso.
  • A transformada inversa de -1s + 2 é -e^-2tu(t), onde u(t) é a função degrau unitário.

Passo 7

Juntando as partes, a resposta ao impulso unitário h(t) é:
h(t) = 3de

Resposta

A resposta ao impulso unitário do sistema é h(t) = 3,de.

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