A queda de pressão total no filtro é a soma da queda de pressão provocada pelo fluido atravessando o meio filtrante (De e a provocada pela formação contínua da torta (De, de acordo com a Equação 1:
De
Sendo A a área de secção transversal do filtro, mu a viscosidade do filtrado, u a velocidade linear do filtrado baseada na área do filtro, mc a massa total de sólidos na torta, alpha a resistência média da torta e Rm a resistência média do filtro. A massa de torta em um dado instante de tempo ( mc ) pode ser expressa em termos do volume de fitrado (V) pela seguinte expressão:
mc=C cdot V
Equação 2
C é a massa de sólidos depositada na torta por unidade de volume do filtrado. A velocidade linear (u) pode ser expressa da seguinte forma:
u=dv / dtA
Equação 3
Obtenha uma expressão que represente o tempo necessário para obter um volume V em um filtro de placas e quadros de área A .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre queda de pressão em filtros, mais especificamente em filtros de placas e quadros. O objetivo é encontrar uma expressão que nos diga quanto tempo é necessário para filtrar um volume V com uma área de filtro A. Para resolver isso, vamos usar as equações que relacionam a pressão, a velocidade do filtrado, a massa da torta e o volume filtrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas partes da queda de pressão total no filtro. A queda de pressão total (ΔP) é a soma da queda de pressão causada pelo fluido passando pelo meio filtrante (ΔPm) e pela formação da torta (ΔPc). Matemáticamente, isso fica assim:
De
Aqui, μ é a viscosidade do fluido, u é a velocidade linear do filtrado, α é a resistência média da torta, mc é a massa total de sólidos na torta, A é a área do filtro e Rm é a resistência média do filtro.

Passo 3

Sabemos também que a massa da torta (mc) está relacionada ao volume filtrado (V) pela equação:
mc = C cdot V
Onde C é a massa de sólidos depositados por unidade de volume do filtrado.

Passo 4

A velocidade linear do filtrado (u) é dada por:
u = dvdt cdot 1A
Aqui, dv/dt é a taxa de volume filtrado, ou seja, como o volume V está mudando com o tempo t.

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o tempo (t) necessário para filtrar um volume V. Para isso, precisamos relacionar todas essas equações. Vamos substituir mc na equação da queda de pressão total:
De

Passo 6

Agora, substituímos u pela expressão que temos:
De
Isso simplifica para:
De

Passo 7

Queremos isolar dv/dt para encontrar como o volume V varia com o tempo t. Vamos reorganizar a equação:
dvdt = De

Passo 8

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Colocamos todos os termos de V de um lado e os termos de t do outro:
integral0^V ( alpha cdot C cdot VA + Rm ) , dV = integral0^t De

Passo 9

Vamos resolver as integrais. A integral à esquerda é:
integral ( alpha cdot CA cdot V + Rm ) dV = alpha cdot C2 cdot A V^2 + Rm V + constante
A integral à direita é:
integral De
Ignorando as constantes (porque são zero quando V=0 e t=0), temos:
alpha cdot C2 cdot A V^2 + Rm V = De

Passo 10

Agora, isolamos t:
t = muDe
Simplificando um pouco mais, temos:
t = muDe

Resposta

Portanto, o tempo necessário (t) para filtrar um volume V no filtro é dado por:
t = muDe

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