A queda de pressão total no filtro é a soma da queda de pressão provocada pelo fluido atravessando o meio filtrante
e a provocada pela formação contínua da torta
, de acordo com a Equação 1:
Sendo
a área de secção transversal do filtro,
a viscosidade do filtrado,
a velocidade linear do filtrado baseada na área do filtro,
a massa total de sólidos na torta,
a resistência média da torta e
a resistência média do filtro. A massa de torta em um dado instante de tempo (
) pode ser expressa em termos do volume de fitrado (V) pela seguinte expressão:
Equação 2
C é a massa de sólidos depositada na torta por unidade de volume do filtrado. A velocidade linear (u) pode ser expressa da seguinte forma:
Equação 3
Obtenha uma expressão que represente o tempo necessário para obter um volume V em um filtro de placas e quadros de área A .
C é a massa de sólidos depositada na torta por unidade de volume do filtrado. A velocidade linear (u) pode ser expressa da seguinte forma:
Obtenha uma expressão que represente o tempo necessário para obter um volume V em um filtro de placas e quadros de área A .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre queda de pressão em filtros, mais especificamente em filtros de placas e quadros. O objetivo é encontrar uma expressão que nos diga quanto tempo é necessário para filtrar um volume V com uma área de filtro A. Para resolver isso, vamos usar as equações que relacionam a pressão, a velocidade do filtrado, a massa da torta e o volume filtrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas partes da queda de pressão total no filtro. A queda de pressão total (ΔP) é a soma da queda de pressão causada pelo fluido passando pelo meio filtrante (ΔPm) e pela formação da torta (ΔPc). Matemáticamente, isso fica assim:
Aqui, μ é a viscosidade do fluido, u é a velocidade linear do filtrado, α é a resistência média da torta, mc é a massa total de sólidos na torta, A é a área do filtro e Rm é a resistência média do filtro.
Passo 3
Sabemos também que a massa da torta (mc) está relacionada ao volume filtrado (V) pela equação:
Onde C é a massa de sólidos depositados por unidade de volume do filtrado.
Passo 4
A velocidade linear do filtrado (u) é dada por:
Aqui, dv/dt é a taxa de volume filtrado, ou seja, como o volume V está mudando com o tempo t.
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar o tempo (t) necessário para filtrar um volume V. Para isso, precisamos relacionar todas essas equações. Vamos substituir mc na equação da queda de pressão total:
Passo 6
Agora, substituímos u pela expressão que temos:
Isso simplifica para:
Passo 7
Queremos isolar dv/dt para encontrar como o volume V varia com o tempo t. Vamos reorganizar a equação:
Passo 8
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Colocamos todos os termos de V de um lado e os termos de t do outro:
Passo 9
Vamos resolver as integrais. A integral à esquerda é:
A integral à direita é:
Ignorando as constantes (porque são zero quando V=0 e t=0), temos:
Passo 10
Agora, isolamos t:
Simplificando um pouco mais, temos:
Resposta
Portanto, o tempo necessário (t) para filtrar um volume V no filtro é dado por: