Determine a resposta , supondo que uma entrada degrau seja aplicada a este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a resposta de um sistema quando uma entrada degrau, representada por , é aplicada. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e análise de sistemas lineares. Precisaremos conhecer a função de transferência do sistema, que relaciona a entrada à saída .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma função de transferência. A função de transferência de um sistema é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a entrada, ou seja:
Isso significa que podemos encontrar multiplicando a função de transferência pela entrada :

Passo 3

Vamos supor que a função de transferência do sistema seja conhecida. Por exemplo, suponha que:
Onde é uma constante do sistema. Nesse caso, substituímos e na equação de :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter . Para isso, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar e , substituímos valores de que simplificam a equação:
  • Quando :
  • Quando :
Portanto:

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Aqui, usamos a propriedade de que a transformada inversa de é 1 (degrau unitário) e a transformada inversa de é .

Resposta

A resposta do sistema é:

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