Determine a resposta y(t), supondo que uma entrada degrau U(s)=2 / s seja aplicada a este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a resposta de um sistema quando uma entrada degrau, representada por , é aplicada. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e análise de sistemas lineares. Precisaremos conhecer a função de transferência do sistema, que relaciona a entrada à saída .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma função de transferência. A função de transferência H(s) = Y(s)U(s) de um sistema é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a entrada, ou seja:
Y(s) = H(s) cdot U(s)
Isso significa que podemos encontrar multiplicando a função de transferência pela entrada :

Passo 3

Vamos supor que a função de transferência do sistema H(s) = 1s + a seja conhecida. Por exemplo, suponha que:
Y(s) = 1s + a cdot 2s = 2s(s + a)
Onde é uma constante do sistema. Nesse caso, substituímos e na equação de :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter 2s(s + a) = As + Bs + a . Para isso, vamos decompor 2 = A(s + a) + B s em frações parciais:
2 = A(0 + a) Rightarrow A = 2a
Multiplicando ambos os lados por 2 = B(-a) Rightarrow B = -2a , temos:
2s(s + a) = 2/as - 2/as + a
Para encontrar e , substituímos valores de que simplificam a equação:
  • Quando :
  • Quando :
Portanto:

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace:
y(t) = 2a cdot 1 - 2a e^-a t = 2a (1 - e^-a t)
Aqui, usamos a propriedade de que a transformada inversa de é 1 (degrau unitário) e a transformada inversa de é .

Resposta

A resposta do sistema é:
y(t) = 2a (1 - e^-a t)

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