Determine o resultado de cada integral indefinida: integral 3^-2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 3^-2 t , dt. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente envolvendo integrais de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções da forma a^kt, onde a é uma constante positiva e diferente de 1, e k é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma regra básica de integração para funções exponenciais. A integral de a^kt em relação a t é dada por:
integral a^kt , dt = a^ktk ln a + C
onde C é a constante de integração, e ln a é o logaritmo natural de a.

Passo 3

No nosso caso, a base a é 3 e o coeficiente de t é -2. Então, podemos identificar que a = 3 e k = -2 na nossa integral integral 3^-2 t , dt.

Passo 4

Aplicando a regra que mencionamos:
integral 3^-2 t , dt = 3^-2 t-2 ln 3 + C

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão para torná-la mais apresentável. Dividir por -2 é o mesmo que multiplicar por -1/2, então:
integral 3^-2 t , dt = -3^-2 t2 ln 3 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 3^-2 t , dt = -3^-2 t2 ln 3 + C

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