Determine o valor de cada integral definida: integralpi6^pi3 sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a função seno e então aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função ddx(-cos x) = sin x . A antiderivada é a função que, quando derivada, resulta na função original. Sabemos que:
Então, a antiderivada de é .

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a diferença da antiderivada nos limites superior e inferior. Ou seja:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde é a antiderivada de .

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral:
integralpi6^pi3 sin x , dx = [ -cos x ]pi6^pi3 = -cos(pi3) + cos(pi6)

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores de cos(pi3) = 12 e cos(pi6) = raiz32 . Sabemos que:

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
-12 + raiz32 = raiz3 - 12

Resposta

O valor da integral definida é .

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